2019-2020年高中数学人教A版必修2学案：2.3.1+直线与平面垂直的判定+Word版含解析

2019-2020年高中数学人教A版必修2学案：2.3.1+直线与平面垂直的判定+Word版含解析

2.3.1 直线与平面垂直的判定 知识导图 学法指导 1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线与平面相交所成的角为90°的角度来讨论，又可以从已有的线线垂直关系出发进行推理和论证． 2．在线面垂直的判定定理中，有非常重要的限制条件“两条相交直线”，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用时一定要注意体现逻辑推理的规范性． 3．求直线与平面所成的角的关键是作直线在平面上的射影． 高考导航 1.考查线线、线面垂直关系的判定，常以选择题的形式出现，也可以是解答题的某一问，分值5分． 2．考查直线与平面所成的角，常出现在文科卷中，以解答题的一问的形式呈现，分值5分． 3．考查与其他知识的综合问题，如求体积、参数、比值等，分值5～6分.

知识点一 直线与平面垂直 直线与平面垂直 如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，就说定义 直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作- 1 - / 15

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平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足 通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图 画法 文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 判定定理 符号表述： ?l⊥b?a∩b＝A??l⊥α a?α??b?αl⊥a1．直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形． 2．注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． 3．判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直． 知识点二 直线与平面所成的角 直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这定义 个平面所成的角． 当直线与平面垂直时，它们所成的角是90°.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0° 0°≤θ≤90° 如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角 - 2 - / 15

范围 画法 2019-2020年高中数学人教A版必修2学案：2.3.1+直线与平面垂直的判定+Word版含解析

把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段． [小试身手]

1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．( )

(2)若a∥b，a?α，l⊥α，则l⊥b.( ) (3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是( ) A．平面DD1C1C B．平面A1B1CD C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB

解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD. 答案：B

3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( ) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC

解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.

答案：C

4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )

A．若l⊥α，l∥m，则m⊥α B．若l∥α，m?α，则l∥m C．若l⊥m，m?α，则l⊥α D．若l∥α，m∥α，则l∥m

解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能平行、异面或相交．

答案：A

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类型一 直线与平面垂直定义的理解

例1 已知平面α及α外一条直线l，给出下列命题：

①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α； ②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α；

③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α； ④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α.

其中，正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

【解析】 根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．

【答案】 C

命题是否正确，一般先考虑能否利用定义来判断．

方法归纳

直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直，“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义．但“任一直线”与“无数条直线”含义不一样．

跟踪训练1 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．

解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证该直线与平面垂直．而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．

答案：①③④

用定义判断时一定要弄清两直线是否相交． 类型二 证明直线与平面垂直

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