八年级下数学第十六章：分式整章知识讲解、典例精析、能力测试和答案

分式单元复习与巩固

一、知识网络

二、目标认知 学习目标

1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的

一类代数式．

2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则． 3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．

4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．

5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．

重点

1．分式的基本性质； 2．分式的四则运算； 3．分式方程的解法．

难点

1．分式的四则混合运算；

2．根据实际问题列出分式方程，解决实际问题．

三、知识要点梳理

知识点一、分式的有关概念及性质 1．分式

如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子就叫做分式。

分式中，A叫做分子，B叫做分母。

分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，

分式才有意义。

2．分式的基本性质

（M为不等于0的整式）.

3．最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。如果分子分母有公因式，要进行约分化简。

知识点二、分式的运算

1．约分

利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 约分需注意事项：

(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；

(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积。

2．通分

利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 通分注意事项：

(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积。

(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉。

3．基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似 ,具体运算法则如下:

（1）加减运算 ±＝

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

；

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

（2）乘法运算

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

（3）除法运算

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘。

（4）乘方运算 （分式乘方）

分式的乘方，把分子、分母分别乘方。

4．零指数

5．负整数指数

6．分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的。

知识点三、分式方程 1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．

3．分式方程的增根问题

(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；

(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解。

知识点四、分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”

.

等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解。另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性。

四、规律方法指导

（一）分式的概念需注意的问题

（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含

有括号的作用；

（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母．

（二）约分需明确的问题

（1）对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；

（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；

（3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式．

（三）确定最简公分母的方法

（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数。

（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.

（四）列分式方程解应用题的基本步骤

（1）审——仔细审题，找出等量关系； （2）设——合理设未知数；

（3）列——根据等量关系列出方程； （4）解——解出方程； （5）验——检验增根； （6）答——答题。 经典例题透析

类型一：分式及其基本性质

1．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）

A. B. C. D.

思路点拨：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0。即若是一个分式，则

有意义B≠0。当x＝0时，x＝0，所以选项A不是；当x＝－

2

2

2

2

时，2x＋1＝0，所以选

项B不是；因为x≥0，所以x＋1＞0，即不论x为何实数，都有x＋1≠0，所以选项C是；当x＝±1时，｜x｜－1＝0，所以选项D不是。 【答案】：C。