毕业设计(论文)-浅谈求函数极限的方法

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limf(x)?1 x?0

3.利用函数极限的四则运算法则来求极限

定理3.1：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)?g(x)，f(x)?g(x)

x?x0x?x当x?x0时也存在且

(1)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)

x?0x?x0x?x.0(2)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0(3)又若limg(x)?0，则

x?x0f(x)在x?x0时也存在，且有 g(x)f(x)limf(x) limg(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变

?0量都不满足这个条件，如、等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进

?0行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。 例3.1：求limx?2?x2?4 x?2解：原式=limx?2??x?2??x?2??x?2lim?x?2??0

x?2?x2?3x?5例3．2：求 lim

x?2x?4x2?3x?5解: lim

x?2x?422?3?2?55? =

2?42

4.利用洛比达法则求极限

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0?洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限要

0?求在点x0的空心邻域U 例 4.1求极限limx??0?x0?内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．

1?cosx

x??tan2xx?? 解： 由于lim?1?cosx??limtan2x?0，且有

?1?cosx?'??sinx，?tan2x?'?2tanxsec2x?0，

由洛比达法则可得:

1?cosx

x??tan2x?sinx ?lim

x??2tanxsec2xlim?cos3x???lim?? x??2???

1 2ex例 4.2求极限lim3

x???x 解： 由于limex?limx3???，并有ex'?ex，x3'?3x2?0，

x???x???????由洛比达法则可得：

exex lim3?lim2，

x???xx???3x 由于函数f?x??ex，g?x??3x2均满足洛比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则：

exexexexlim?lim2?lim?lim??? x???x3x???3xx???6xx???6注 1 如果limx?x0f'?x?0?仍是型不定式极限或型不定式极限，只要有可能，我们g'?x?0?f'?x?是否存在，这时f'?x?和g'?x?在x0的某邻g'?x?可再次用洛比达法则，即考察极限limx?x0域内必须满足洛比达法则的条件． 注 2 若limx?x0f'?x?f?x?不存在，并不能说明lim不存在．

x?x0g?x?g'?x? - 7 - - 7 -- 7 -

注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，

?x?sinx其次是否满足洛比达法则的其他条件．比如这个简单的极限lim?1虽然是型，

x???xx?sinx1?cosx?lim但若不顾条件随便使用洛比达法则lim，就会因右式的极限不存在

x??x??x1而推出原极限不存在的错误结论。

5.用两个重要的极限来求函数的极限

①利用limx?0sinx?1来求极限 xlimx?0sinx?1的扩展形为： x令g?x??0，当x?x0或x??时，则有

limx?x0sing?x?sing?x??1 ?1或limg?x?g?x?x??sinx ??x例5.1：limx??解：令t=??x.则sinx=sin(?? t)=sint, 且当x??时t?0 故 limx??sinxsint?lim?1 ??xt?0t例5.2：求limx?1sinx2?1

x?1???x?1??sin?x2?1??sin?x2?1?解：原式=lim?lim?x?1???2 2????x?1x?1x?1x?1x?11②利用lim(1?)?e来求极限

xx??limx??11(1?)?e的另一种形式为lim(1??)??e.事实上，令??.x?????0.xx??01所以e?limx??1(1?)x?lim(1??)??e

x??01x1例5.3: 求lim(1?2x)的极限

x?0 - 8 - - 8 -- 8 -

解：原式=limx?011??22x2x?(1?2x)?(1?2x)??e ??利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合

或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。

6.利用泰勒公式

对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：

x2xn?????o(xn) 1、e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n?12、sinx?x??????(?1)?o(x2n)

3!5!(2n?1)!2nx2x4nx3、cosx?1??????(?1)?o(x2n?1) 2!4!(2n)!nx2n?1x????(?1)?o(xn) 4、ln(1?x)?x?2n5、(1?x)??1??x?6、

?(??1)2!x2????(??1)?(??n?1)n!xn?o(xn)

1? 1?x?x2????xn?o(xn) 1?x上述展开式中的符号o(xn)都有:

o(xn)limn?0 x?0x例6.1: 求limx?0a?2x?a?x(a?0)

x解:利用泰勒公式，当x?0 有

x1?x?1??o(x)

2于是 limx?0a?2x?a?x

x2xx?1?)aa

xa(1?=limx?0