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2014届高考数学理科试题大冲关：导数的应用(一)
一、选择题
1．函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞)
D．R
2．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使得函数f(x＋1)单调递减的一个充分不必要条件为x∈( )
A．(0,1) C．(1,3)
B．[0,2] D．(2,4)
3．函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是( ) A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f (x)的极值点
4．已知函数f(x)＝4x＋3sin x，x∈(－1,1)，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0成立，则实数a的取值范围为( )
A．(0,1)
B．(1，2)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－2，－2)
5．若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A．[1，＋∞) C．[1,2)
3
B．[1，) 23
D．[，2)
2
6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )
A．2 C．6 二、填空题
7．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值． 8.如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法： (1)f(x)在(－3,1)上是增函数； (2)x＝－1是f(x)的极小值点；
B．3 D．9
(3)f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； (4)x＝2是f(x)的极小值点； 以上正确的序号为________．
9．若函数f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1在区间(－2,0)内单调递减，在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)内单调递增，则p的取值集合是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x0处取得极小值－5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(0,0)， (2,0)．
(1)求a，b的值；
(2)求x0及函数f(x)的表达式．
11．设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a>0.(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．
12．设f(x)＝ax3＋bx＋c为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间，极大值和极小值，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值与最小值．
详解答案
一、选择题
e
1．解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1＋>0.故f(x)的递增区间为
x(0，＋∞)． 答案：A
2．解析：令f′(x)＝x2－4x＋3<0，得1 答案：A 3．解析：由题意，得x>－1，f′(x)>0或x<－1，f′(x)<0，但函数f(x)在x＝－1处未必连续，即x＝－1不一定是函数f(x)的极值点． 答案：D 4．解析：∵f(x)＝4x＋3sin x，x∈(－1,1)， ∴f′(x)＝4＋3cos x>0在x∈(－1,1)上恒成立． ∴f(x)在(－1,1)上是增函数． 又f(x)＝4x＋3sin x，x∈(－1,1)是奇函数， ∴不等式f(1－a)＋f(1－a2)<0可化为 f(1－a) －1<1－a<1??2 从而可知，a需满足?－1 ??1－a 11 5．解析：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0，得x＝.据题意得 x21??k－1<2 ?， ??k－1≥0 3 解得1≤k＜. 2答案：B 6．解析：函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所a＋b262 以ab≤()＝()＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号． 22 答案：D 二、填空题 ，解得1 7．解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值． 答案：2 8. 解析：当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－3，－1)上是减函数，故(1)错误；对(2)，当x<－1时，f′ (x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，故x＝－1是f(x)的极小值点，故(2)正确，同理可知(4)错误；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，故(3)正确． 答案：(2)(3) 9．解析：由题意知f′(－2)＝0，f′(0)＝0，而f′(x)＝3x2－2px，则有12＋4p＝0，即p＝－3.故填{－3}． 答案：{－3} 三、解答题 10．解：(1)由题设可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b. ∵f′(x)的图象过点(0,0)，(2,0)， ??b＝0，∴?解得a＝－3，b＝0. ?12＋4a＋b＝0? (2)由f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0， ∴在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0,2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0，∴f(x)在 (－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x＝2处取得极小值， 所以x0＝2，由f(2)＝－5，得c＝－1，∴f(x)＝x3－3x2－1. 11．解：(1)因为f(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0， ?x－a??2x＋a?a2 所以f′(x)＝－2x＋a＝－. xx 由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)． (2)由题意得：f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e. 由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增， 要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立， ??f?1?＝a－1≥e－1， 只要?222 ?f?e?＝a－e＋ae≤e.? 解得a＝e. 12．解：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． 即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c. ∴c＝0. ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12， ∴b＝－12. 1 又直线x－6y－7＝0的斜率为， 6因此f′(1)＝3a＋b＝－6， 故a＝2，b＝－12，c＝0. (2)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)， 列表如下 X f′(x) f(x) 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． f(x)的极大值为f(－2)＝82，极小值为 f(2)＝－82 又f(－1)＝10，f(3)＝18， 所以当x＝2时，f(x)取得最小值为－82，当x＝3时f(x)取得最大值18. (－∞，－2) ＋ －2 0 极大 (－2，2) － 2 0 极小 (2，＋∞) ＋ 搜索更多关于： 2014届高考数学理科试题大冲关：3.2导数的应用（一） 的文档
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