陕西省西安市碑林区铁一中学2019-2020学年八年级上学期第一次月考数学试题(解析版)

∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8． 根据题意得：△ABP≌△EBP， ∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8．

??D??E?在△ODP和△OEG中，∵?OD?OE，

??DOP??EOG?∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP=OG，PD=GE， ∴DG=EP，∴AP=DG； （2）如图所示．

由（1）可得：DG=EP，DP=EG． 设AP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x， ∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x． 根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2， 即62+（8﹣x）2=（x+2）2， 解得：x=4.8， ∴AP=48．

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

24.联想我们曾经学习过的三角形外心的概念，我们可引入准外心的定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．请回答下面的三个问题：

.

（1）如图1，若PB＝PC，则点P为△ABC的准外心，而且我们知道满足此条件的准外心有无数多个，你能否用尺规作出另外一个准外心Q呢？请尝试完成；

（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA的长； （3）如图3，点B既是△EDC又是△ADC的准外心，BD＝BA＝BC＝2AD，BD∥AC，CD＝的值．

【答案】（1）能用尺规作出另外一个准外心Q，如图1所示：点Q为△ABC的准外心；（2）准外心P在AC边上，PA的长为【解析】 【分析】

（1）作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q即可；

（2）连接BP，由勾股定理得出AC=4，分三种情况讨论，由直角三角形的性质即可得出答案； （3）由BD=BA=BC，得出∠BAC=∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，由圆周角定理得出∠ABD=2∠ACD，作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F，由垂径定理得出DE=CE?45，求AD3743或2；（3）AD＝．

98125CD?，DF=AF23?1AD，∠ABD=2∠DBF，∠BEC=∠DFB=90°，证明△BDF≌△CBE，得出DF=BE，设DF=x，则BE=x，2AD=2x，BD=2AD=4x．在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）能用尺规作出另外一个准外心Q，

作AB的垂直平分线MN，在MN上取点Q，如图1所示： 则QA=QB，点Q为△ABC的准外心；

（2）连接BP，如图2所示：

∵△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3， ∴AC?BC2?AB2?52?32?4．

∵准外心P在AC边上， ①当PB=PC时，

设PB=x，则PC=x，PA=4﹣x，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：32+（4﹣x）2=x2，

25， 8257?； ∴PA=4?88解得：x?②当PA=PC时，PA?③当PA=PB时．

∵△ABC是直角三角形，∴此情况不存在． 综上所述：准外心P在AC边上，PA的长为

1AC=2； 27或2； 8

（3）∵BD=BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，点D、A、C在以B为圆心，AB长为半径的圆上，如图3所示，则∠ABD=2∠ACD．

作BE⊥CD于E，BF⊥AD于F， 则DE=CE?1125CD?，DF=AF?AD， 223∠ABD=2∠DBF，∠BEC=∠DFB=90°． ∵BD∥AC，

∴∠ABD=∠BAC=∠BCA=2∠ACD=2∠DBF=2∠BCE， ∴∠DBF=∠BCE．

??DBF??BCE?在△BDF和△CBE中，∵?BD?BC，

??DFB??BEC?∴△BDF≌△CBE（ASA），∴DF=BE． 设DF=x，则BE=x，AD=2x，BD=2AD=4x， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+（252

）=（4x）2， 3解得：x?2343，∴AD=2x?． 99

【点睛】本题是圆的综合题目，考查了新定义“准外心”、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握新定义和圆周角定理是解题的关键．