(优辅资源)上海市奉贤区高考数学一模试卷 Word版含解析

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cosθ===，

故异面直线MC与PO所成的角为arccos．

18．已知函数

（1）求a和f（x）的单调区间； （2）f（x+1）﹣f（x）＞2． 【考点】指数式与对数式的互化．

【分析】（1）代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，

（2）根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解得即可． 【解答】解：（1）函数∴log2（a2+a﹣2）=2=log24， ∴解得a=2，

∴f（x）=log2（22x+2x﹣2）， 设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0， ∴f（x）的递增区间（0，+∞）；

，

（a＞0），且f（1）=2，

（a＞0），且f（1）=2；

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（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，

∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24， ∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2）， ∴2x＜3， ∴x＜log23， ∵x＞0 ∴0＜x＜log23

∴不等式的解集为（0，＜log23）

19．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P观测到灯塔A、B在一直线上，并与航线成角α（0°＜α＜90°），轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A0°在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东β（0°＜β＜90°）方向，＜α+β＜90°，求CB；（结果用α，β，b表示） 【考点】解三角形的实际应用．

【分析】由题意，∠B=90°﹣（α+β），△PBC中，运用正弦定理可得结论． 【解答】解：由题意，∠B=90°﹣（α+β）， △PBC中，PC=b，由正弦定理可得

．

20．过双曲线

B两点，的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、

其中P是AB的中点；

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）当P坐标为（x0，2）时，求直线l的方程； （3）求证：|OA|?|OB|是一个定值．

【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．

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【分析】（1）求出双曲线的a，b，由双曲线的渐近线方程为y=±x，即可得到所求；

（2）令y=2代入双曲线的方程可得P的坐标，再由中点坐标公式，设A（m，2m），B（n，﹣2n），可得A，B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线方程；

（3）设P（x0，y0），A（m，2m），B（n，﹣2n），代入双曲线的方程，运用中点坐标公式，求得m，n，运用两点的距离公式，即可得到定值． 【解答】解：（1）双曲线

的a=1，b=2，

可得双曲线的渐近线方程为y=±x， 即为y=±2x；

（2）令y=2可得x02=1+=2， 解得x0=

，（负的舍去），

设A（m，2m），B（n，﹣2n）， 由P为AB的中点，可得m+n=2解得m=即有A（

+1，n=+1，2

﹣1， +2），

=2（x﹣

， ），

，2m﹣2n=4，

可得PA的斜率为k=则直线l的方程为y﹣2=2即为y=2

x﹣2；

（3）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣设A（m，2m），B（n，﹣2n），

=1，

由P为AB的中点，可得m+n=2x0，2m﹣2n=2y0， 解得m=x0+y0，n=x0﹣y0， 则|OA|?|OB|==5|x02﹣

|m|?

|n|=5|mn|=5|（x0+y0）（x0﹣y0）|

|=5为定值．

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21．设数列{an}的前n项和为Sn，若列”；

（1）若a1=1，

，a3=x，a4=4，求x的取值范围；

（n∈N*），则称{an}是“紧密数

（2）若{an}为等差数列，首项a1，公差d，且0＜d≤a1，判断{an}是否为“紧密数列”；

（3）设数列{an}是公比为q的等比数列，若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围． 【考点】数列的应用． 【分析】（1）由题意，

且

，即可求出x的取值范围；

an=a1+d，（2）由题意，（n﹣1）密数列”的定义即可证明结论；

==1+，根据“紧

（3）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简

，

，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，∴x的取值范围是[2，3]；

（2）由题意，an=a1+（n﹣1）d，∴

且，∴2≤x≤3，

==1+，

随着n的增大而减小，所以当n=1时，∴{an}是“紧密数列”；

（3）由题意得，等比数列{an}的公比q 当q≠1时，所以an=a1qn﹣1，Sn=

，

取得最大值，∴≤2，

=，