上海市静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学（文科）试卷 - 图文

（3）

11x(a?a?x)?ax?2在区间[1,2]上恒成立，即ax?a?x?2，

22即ax?a?x?4在区间[1,2]上恒成立，（11分） 令ax?t，∵ a?1，∴ t?[a,a]，

211?1?t?在t?[a,a2]上单调递增，∴ ?t???a??4，

at?t?min解得a?2?3，∴ a?(2?3,??).（16分）

23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.

在数列{an}中，已知a2?1，前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1；

（2）求数列{an}的通项公式； （3）设lgbn?n(an?a1).（其中n?N*） 2an?1，问是否存在正整数p、q（其中1?p?q），使得b1、bp、bq成等比数列？若存在，求3n出所有满足条件的数组(p,q)；否则，说明理由. 解：（1）∵ Sn?n(an?a1)(a?a1)，令n?1，得a1?1（3分） ?0，∴ a1?0，222(a2?a1)或者令n?2，得a1?a2?，∴ a1?0.

2(n?1)(an?1?a1)(n?1)an?1（2）当n?2时，Sn?1?， ?22∴ an?1?Sn?1?Sn?(n?1)an?1nanan，∴ n?1?， ?22ann?1推得

an?1n?，又∵ a2?1，∴ a3?2a2?3，∴ an?1?n， a32当n?1,2时也成立，∴ an?n?1（n?N*）.（9分）

（3）假设存在正整数p、q，使得b1、则lgb1、故bp、bq成等比数列，lgbp、lgbq成等差数列，（**）（11分）

由于右边大于

2p1q??qp33312p1p1，则p?，即p?， 33336

考查数列?p?1p1?2p?p?的单调性，∵ ?p?p?1?0， ?p?1p333?3??p?为单调递减数列.（14分） p?3??∴ 数列?p21q1，代入（**）式得???，解得q?3；

3p963q9p1当p?3时，p?（舍）.

39当p?2时，

综上得：满足条件的正整数组(p,q)为(2,3).（16分） （说明：从不定方程

2p1q??以具体值代入求解也可参照上面步骤给分） 3p33q