当前位置：首页 > 2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学(理)试题(解析版)
ME?平面AEC，故PBP平面AEC
（2）如图所示：以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系.
r??31?uuu31?设AB?m，则P(0,0,1),D(0,3,0),E??0,2,2??,AE???0,2,2??
????uuurB(m,0,0)(m?0),C(m,3,0),AC?(m,3,0)
uuuv?mx?3y?0ur?n1?AC?0??v设n1?(x,y,z)为平面ACE的法向量，则?uuu即?3 1?y?z?0?n1?AE?0?2?2ur?3uur?n?,?1,3取1???m? ，易知n2??1,0,0?是平面AED的法向量
??uruur1313 cosn1,n2????m?223?4m22故VE?ACD?11313 ???3??32228
本题考查了线面平行，二面角，体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
1x2y219．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，右焦点为F(c,0)，左顶点为
2abA，右顶点B在直线l:x?2上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
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x2y2【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切． ??1；
43（Ⅰ）根据条件解得a,b值，（Ⅱ）设点P（x0，y0），解得D点坐标，即得以BD为直径的圆圆心坐标以及半径，再根据直线PF方程，利用圆心到直线PF距离与半径大小关系作判断. 【详解】
（Ⅰ）依题可知B（a，0），a=2，因为e?c1?，所以c=1，b?3 a2x2y2故椭圆C的方程为??1．
43（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
22x0y0证明如下：设点P（x0，y0），则??1?y0?0?
43①当x0=1时，点P的坐标为（1，±D的坐标为（2，±2）．
3），直线PF的方程为x=1， 2此时以BD为直径的圆(x?2)?(y?1)?1与直线PF相切． ②当x0≠1时直线AP的方程为y?22y0?x?2?， x0?2??2y04y0?2y0?D2，2，BE?点D的坐标为? ?，BD中点E的坐标为??，故
x?2x?2x?2000????直线PF的斜率为kPF?y0， x0?1y0x?1?x?1?，即x?0y?1?0， x0?1y0故直线PF的方程为y?所以点E到直线PF的距离
2?d?x0?12y0??1y0x0?21?(x0?12)y0?4?x0y0y02y0???BE2x?2x?2x0?2x2y02?(x0?1)03?0?(x0?1)2044?x0,故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．
本题考查直线与椭圆位置关系以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题题. 直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断.
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20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N?,??2?，
其中?近似为年平均收入x，?2近似为样本方差s2，经计算得s2?6.92.利用该正态分布，求:
(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民。若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式6.92?2.63,X~N(?,?2)
则①P(????X????)?0.6827；②P???2??X???2???0.9545；③
P(??3??X???3?)?0.9973.
【答案】(1)17.40千元 (2)(i)14.77千元（ii）978 （1）取出每一组数据中间值，充当xi，利用公式x??xp进行求解即可
iii?1n（2）根据正态分布特征值，结合附表所给内容，可判断P?x??????0.8414，再计算出对应的???值即可
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（3）由题中1000位农民中的年收入不少于12.14千元，即
P(X?12.14)?P(X???2?)?0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元
的人数为?，则?~B10,p，再根据二项分布的概率公式，结合“精准扶贫，不落一人”的特点来进行判断即可 【详解】 解：
?3??1?x?12?0.04?14?0.12?16?0.28?18?036?20?0.10?22?0.06?24?0.04?17.40千元.
?2?由题意，X~N(17.40,6.92).
（i）P?x??????10.6827??0.8414?????17.40?2.63?14.77时，满足22题意即最低年收入大约为14.77千元
（ii）由P(X?12.14)?P(X???2?)?0.5?0.9545?0.9773，得 2每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，
记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为?，则?~B10,p，其中
?3?p?0.9773，
于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是
P???k??Cp?1?p?k103k103?k
P???k?1001?k??p???1，得k?1001p 从而由
P???k?1?k??1?p?而1001p?978.2773，所以，当0?k?978时， P???k?1??P???k?, 当979?k?1000时，P???k?1??P???k?,
由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978 本题考查频率分布直方图中平均数的求法，正态分布曲线的特点及其意义，二项分布及其概率的求法，正确理解题意，将文字转化为数学表达式是关键 21．已知函数f(x)?1?x?alnx． x（1）讨论f(x)的单调性；
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