2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第五次月考数学(理)试题(解析版)

键，属于难题.

二、填空题 13．若sin?【答案】??π?1?2π?????，则cos??2??? ______． ?6?3?3?7 9利用角?????????????????的关系，建立函数值的关系求解． ?6??3?2【详解】 已知sin??π?1?π??π?π????，且??????????，则?6?3?6??3?27?π??π?1?2π??π?cos?????sin?????，故cos??2???2cos2?????1??．

9?3??6?3?3??3?给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值． 14．安排A,B,C,D,E,F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有___________． 【答案】42

试题分析：6人分组为照顾老人乙也有30种，再加上有

种．

种，当

照顾老人甲时有

种，同理义工

种，所以共

同时分别照顾老人甲和乙有

【考点】1．平均分组问题；2．特殊元素优先排序法；3．排除法；

15．已知正项等比数列{an}的公比q?1，且满足a2?6，a1a3?2a2a4?a3a5?900，设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式?an?1?Sn对一切n?N?恒成立，则实数?的最大值为_________． 【答案】

4 3【详解】

22由等比数列的性质可得a2?2a2a4?a4?900，即a2?a4?30，再结合a2?6,可得

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a43(2n?1)n?2n?1a4?24，则公比q??2，所以an?6?2?3?2,Sn? ?3?2n?3，

a22?1故原不等式可化为3??2n?1?3?2n?2，

2224F(n)?2??2??， ，又因为

3?2n?13?2n?13344

所以??，故答案为.

33

即??2?点睛：本题设置的目的旨在考查等比数列的定义、通项公式的性质及前n项等有关知识的综合运用,求解时先运用等比数列的通项的性质，求出a2?a4?30，再结合a2?6可求得a4?24，进而求得公比q=2，从而将问题化为求F(n)?2?问题.

16．已知函数f(x)?e?x2的最小值的

3?2n?1k?1?lnx?1(k?R)在(0,??)上存在唯一零点x0，则下列x11?x0?. e2说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上） ①k?2；②k?2；③lnx0??x0；④【答案】①③

f(x)?0有唯一解x0，即xex?x?lnx?k?1?0的根为x0.令

g(x)?xex?x?lnx?k?1，求出g'(x)，研究g(x)的性质，而g'(x)?0在(0,??)上有唯一解t，g(x)在(0,t)上递减，在(t,??)上递增，考虑x?0和x???时函数的变化，只能有x0?t，这样可判断①③正确，②错误，结合③再由零点存在定理判断④错误。 【详解】

由题意知f(x)?0有唯一解x0，即xex?x?lnx?k?1?0的根为x0.令

xg(x)?xex?x?lnx?k?1，g?(x)?(x?1)e?x?11???x）?(x?1)?ex??，（?0令gxx??得e?x11x，当x?0时，e?有唯一解t，满足tet?1，故g(x)在(0,t)上单调递减，xx(t,??)上单调递增.又因为x?0，g(x)???;x???,g(x)???，因此t?x0，

即g?x0??0，故k?2,lnx0?x0?0.另外，令h(x)?lnx?x,h?(x)?1?1?0，故x111e?1??1?在(0,??)上单调递增，h????1??0,h????ln2??ln?0，故（hx）e224?e??2?第 10 页 共 19 页

④错误.

故答案为：①③。

本题考查函数零点分布问题，首先把问题转化，使得要研究的函数简单化，再利用导数研究此函数性质，得出零点需满足的条件。本题难度较大，属于困难题。

三、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量

m?(sinA,sinB?sinC)，n?(a?3b,b?c)，且m?n．

（1）求角C的值；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c?1，求3a?b的取值范围． 【答案】（1）C??6；（2）(2,23)

（1）根据m?n?(a?3b)sinA?(b?c)(sinB?sinC)?0和正弦定理余弦定理求得

rrC??6.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把3a?b化成4sin(A??6)，再利用三角函数

的图像和性质求解. 【详解】

（1）因为m?n，所以m?n?(a?3b)sinA?(b?c)(sinB?sinC)?0， 由正弦定理化角为边可得a2?3ab?b2?c2?0， 即a2?b2?c2?3ab，由余弦定理可得cosC?（2）由（1）可得A?B?因为C?则

rr?3，又0?C??，所以C?．

625?，设△ABC的外接圆的半径为R， 6c1??2， sinCsin30??6，c?1，所以2R?3a?b?3?2RsinA?2RsinB?2R(3sinA?sinB)?2R[3sinA?sin(

5??A)]?62Rsin(A?)?4sin(A?)，

66????0?A?????2因为△ABC为锐角三角形，所以?，即?A?，

32?0?5??A???62?第 11 页 共 19 页

所以

?6?A??6??3，所以

1?3， ?sin(A?)?262所以2?4sin(A??6)?23，故3a?b的取值范围为(2,23)．

(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数y?Asin(wx??)?h的最值.

18．如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?底面ABCD，E为PD的中点.

（1）证明：PBP平面AEC；

（2）设二面角D?AE?C为60?，AP?1，AD?3，求三棱锥E?ACD的体积.

【答案】（1）详见解析；（2）

3. 8（1）如图所示：连接BD与AC交于M，连接ME，证明PBPME得到答案. （2）如图所示：以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，设

ur?3?AB?m，计算平面ACE的法向量为n1???m,?1,3??，平面AED的法向量

??uur3n2??1,0,0?，根据夹角得到m?，再计算体积得到答案.

2【详解】

（1）如图所示：连接BD与AC交于M，连接ME

易知M为BD中点，E为PD的中点，则在?PBD中，PBPME

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