最新人教版初中数学九年级上册第二十二章二次函数导学案

?a＝1，?

解得?b＝－2，

??c＝－3.

∴函数的解析式为y＝x2－2x－3，其对称轴为x＝1.

探究2 已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．

解：设解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，则有 a(2－3)(2＋1)＝9， ∴a＝－3，

∴此函数的解析式为y＝－3x2＋6x＋9，其顶点坐标为(1，12)．

点拨精讲：因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x轴

交点的坐标．

1

2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，且关于直线x＝对称，那么它的图

2象还必定经过原点．

1

3．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．

2(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积． 点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y＝ax2＋bx＋c；2.顶点式y＝a(x－h)2

＋k；3.交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)

22．2 二次函数与一元二次方程(1)

1．理解二次函数与一元二次方程的关系． 2．会判断抛物线与x轴的交点个数． 3．掌握方程与函数间的转化．

重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数． 难点：掌握方程与函数间的转化．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．

总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)

1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ 方程x2＋x－2＝0的根是：x1＝－2，x2＝1；

方程x2－6x＋9＝0的根是：x1＝x2＝3； 方程x2－x＋1＝0的根是：无实根．

2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？

点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y＝－x2＋2x＋3中，y为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x值是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4，3，0)的根．

错误! 错误!

根是x1＝x2＝1．

,第3题图)

3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)

探究 已知二次函数y＝2x2－(4k＋1)x＋2k2－1的图象与x轴交于两点．求k的取值范围．

解：根据题意知b2－4ac>0，

即[－(4k＋1)]2－4323(2k2－1)>0，

9

解得k>－.

8

点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟) 1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1． 点拨精讲：根据对称性来求．

2．画出函数y＝x2－2x＋3的图象，利用图象回答：

(1)方程x2－2x＋3＝0的解是什么？ (2)x取什么值时，函数值大于0? (3)x取什么值时，函数值小于0?

点拨精讲：x2－2x＋3＝0的解，即求二次函数y＝x2－2x＋3中函数值y＝0时自变量x的值．

3．用函数的图象求下列方程的解．

(1)x2－3x＋1＝0； (2)x2－6x－9＝0； (3)x2＋x－2＝0; (4)2－x－x2＝0.

点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．

2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根． 3．有下列对应关系： 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 有两个公共点 只有一个公共点 无公共点 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 b2－4ac的值 b2－4ac>0 b2－4ac＝0 b2－4ac<0 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

22．2 二次函数与一元二次方程(2)

1．会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解． 2．熟练掌握函数与方程的综合应用．

3．能利用函数知识解决一些简单的实际问题．

重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集．

难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P46.理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．

总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y＝0组成

??x＝0，

的方程组的解；抛物线y＝ax＋bx＋c与y轴的交点坐标实质上是?的解；抛2

?y＝ax＋bx＋c?

2

??y＝kx＋b，物线y＝ax＋bx＋c与直线的交点坐标实质上是?的解． 2

?y＝ax＋bx＋c?

2

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)

1．若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为( D ) A．k＜4 B．k≤4

C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3

2．已知二次函数y＝x2－2ax＋(b＋c)2，其中a，b，c是△ABC的边长，则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )

A．无交点 B．有一个交点

C．有两个交点 D．交点个数无法确定

3．若二次函数y＝x2＋mx＋m－3的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点的距离的最小值是( C )

A．23 B．0

C．22 D．无法确定

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)

探究1 将抛物线y＝x2＋2x－4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2－(4m＋n)x＋3m2－2n＝0的两根，求m，n的值．

解：(1)y＝x2＋2x－4＝(x＋1)2－5，

由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y＝－(x－1)2－2＝－x2＋2x－3； (2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝4m＋n＝－1，

?4m＋n＝－1，x12x2＝3m2－2n＝－2，即?2

3m－2n＝－2，?

?

解得?5

n＝?3

1

2m1＝－，

3

??m2＝－2，或? ?n2＝7.?

点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法．

探究2 如图是抛物线y＝ax＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＞3或x＜－1．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．若二次函数y＝ax2－x＋c的图象在x轴的下方，则a，c满足关系为( A ) A．a＜0且4ac＞1 B．a＜0且4ac＜1

2