最新人教版初中数学九年级上册第二十二章二次函数导学案

大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y＝a(x－h)2＋k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？

1

解：(1)∵抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛

211

物线是y＝－(x－1)2＋2，∴a＝－，h＝1，k＝2；

22

11

(2)函数y＝－(x－1)2＋2与y＝－x2的图象如图；

22

1

(3)观察y＝－(x－1)2＋2的图象可知，当x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随

2x的增大而减小；

1

(4)由y＝－(x－1)2＋2的图象可知，对于一切x的值，y≤2.

2

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．将抛物线y＝－2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y＝－2(x－3)2＋2．

点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．

2．若直线y＝2x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第二象限．

点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．

3．把y＝2x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y＝2(x－1)2－3．

4．已知A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2

点拨精讲：本节所学的知识是：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象画法及其性质的总结；平移的规律．所用的思想方法：从特殊到一般．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(1)

1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．

2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法． 3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．

重点：会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．

难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．

一、自学指导．(10分钟) 自学：自学课本P37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空． 总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2＋k的顶点坐标是(h，k)，对称轴是x＝h，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小；

4ac－b2b用配方法将y＝ax＋bx＋c化成y＝a(x－h)＋k的形式，则h＝－，k＝；则2a4a2

2

2

b4ac－bbb二次函数的图象的顶点坐标是(－，)，对称轴是x＝－；当x＝－时，二次函

2a4a2a2a数y＝ax2＋bx＋c有最大(最小)值，当a<0时，函数y有最大值，当a>0时，函数y有最小值．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)

1．求二次函数y＝x2＋2x－1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．

点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)

探究1 将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．

1

(1)y＝x2－3x＋21；(2)y＝－3x2－18x－22.

41

解：(1)y＝x2－3x＋21

41

＝(x2－12x)＋21 41

＝(x2－12x＋36－36)＋21 41

＝(x－6)2＋12 4

∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x＝6. (2)y＝－3x2－18x－22 ＝－3(x2＋6x)－22

＝－3(x2＋6x＋9－9)－22 ＝－3(x＋3)2＋5

∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x＝－3.

点拨精讲：第(2)小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．

探究2 用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？

(1)S与l有何函数关系？

(2)举一例说明S随l的变化而变化？ (3)怎样求S的最大值呢？ 解：S＝l(30－l)

＝－l2＋30l(0＜l＜30)

＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225

画出此函数的图象，如图．

∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．

点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．y＝－2x2＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝2时，函数y有最大值，其值为y＝1．

2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限．

3．抛物线y＝ax2＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2－4ac＝0时，抛物线与xb轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－，0)；当b2－4ac＞0时，抛物线与x

2a－b±b2－4ac轴有两个交点，交点坐标是(，0)；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，

2a若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则y＝ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)． 点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种．

注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，x1，x2为两交点的横坐标．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2)

能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．

重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空．

总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y＝a(x－h)2＋k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设函数的关系式为y＝a(x－x1)(x－x2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)

1．二次函数y＝4x2－mx＋2，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为22．

点拨精讲：可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值． 2．抛物线y＝－x2＋6x＋2的顶点坐标是(3，11)．

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D ) A．a<0 B．b>0 C．c>0 D．ac>0

第3题图 第4题图 第5题图

4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( A )

A．0 B．－1 C．1 D．2

点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a－b＋c的值．

5．如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是－1． 点拨精讲：可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)

探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．

解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，

?9a＋3b＋c＝0，?

C(0，－3)，则有?4a＋2b＋c＝－3，

??c＝－3.