最新人教版初中数学九年级上册第二十二章二次函数导学案

第二十二章 二次函数

22．1 二次函数的图象和性质

22．1.1 二次函数

结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．

重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系． 难点：理解二次函数的有关概念．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空． 总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__． A．y＝(x－3)2－1

B．y＝1－2x2 1

C．y＝(x＋2)(x－2)

3

D．y＝(x－1)2－x2

2．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．

3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．

点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)

探究1 若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．

探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？

解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50

∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？

1

2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与成反比例，则y与x的函数关系是( A )

xA．二次函数 B．一次函数 C．正比例函数 D．反比例函数

3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数． (1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？ (2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？ 点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．

点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0. 2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)

22．1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质

1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．

2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．

重点：描点法作出函数的图象． 难点：根据图象认识和理解其性质．

一、自学指导．(7分钟)

自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．

(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；

1

(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝x2和y＝2x2的图象；

2

点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．

(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；

(4)找出上述三条抛物线的异同：__________．

1

(5)在同一坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2和y＝－2x2的图象，找出图象的异同．

2点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．

总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．教材P41习题22.1第3，4题．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)

探究1 填空：(1)函数y＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．

1

(2)函数y＝x2，y＝x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．

2解：(1)抛物线，(0，0)，y轴，向上；

(2)根据抛物线y＝ax2中，a的值来判断，在x轴上方开口小的抛物线为y＝x2，开口大1

的为y＝x2，在x轴下方的为y＝－2x2.

2

点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y＝ax2

中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．

探究2 已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？ (3)m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？

2??m＋m－4＝2，

解：(1)由题意得?

?m＋2≠0.?

??m＝2或m＝－3，

解得?∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．

??m≠－2.

(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴只能取m＝2. ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y随x的增大而增大． (3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2<0，即m<－2， ∴只能取m＝－3.

∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)， ∴m＝－3时，函数有最大值为0. ∴x>0时，y随x的增大而减小．

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟) 1．二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？ 2．已知函数y＝ax2经过点(－1，3)．

(1)求a的值；

(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况．

3．二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．

4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )

点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；

2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)

1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．

重点：会作函数的图象．

难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

一、自学指导．(10分钟)

自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．

总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．

抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)