中考数学压轴题专题汇编 动点问题解析

中考数学压轴题专题汇编

动点问题解析

1. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于

B，C两点（点B在C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式。（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

2

◆满分解答：（1）设抛物线为y=a（x﹣4）﹣1，

∵抛物线经过点A（0，3），∴3=a（0﹣4）﹣1，∴抛物线为

（2）相交．

证明：连接CE，则CE⊥BD， 当

时，x1=2，x2=6．

2

；

；（3分）

A（0，3），B（2，0），C（6，0），对称轴x=4，

∴OB=2，AB==，BC=4，

∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°， ∴△AOB∽△BEC， ∴

=

，即

=

，解得CE=

，∵

＞2，∴抛物线的对称轴l与⊙C相

交．（7分）

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；可求出AC的解析式为

；（8分）

设P点的坐标为（m，

2

），则Q点的坐标为（m，

2

）；

∴PQ=﹣m+3﹣（m﹣2m+3）=﹣m+m．

∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×（﹣m+m）×6=﹣（m﹣3）+∴当m=3时，△PAC的面积最大为

2

2

；

；此时，P点的坐标为（3，?3）．（10分） 41

2. 如图

1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两

点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)，动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O—C—B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）点C的坐标为____________，直线l的解析式为____________；

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． （3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大？最大值是多少？

4◆满分解答：（1）点C的坐标为(3，4)，直线l的解析式为： y?x图1

0＜t≤5243（2）①当M在OC上，Q在AB上时，在Rt△OPM中，OP＝t，tan?OMP?3，所

4以PM?t．

336，所以AE?t． 55121661于是PE?8?t?t?8?t．因此S?PE?PM?t2?t．

2153555②当M在OC上，Q在BC上时，＜t≤3．

2因为．因此BQ?2t?5，所以PF?11?t?(2t?5)?16?3t132S?PF?PM??2t2?t．

2316③当M、Q相遇时，根据P、Q的路程和t?2t?11?5，解得t?．

316因此当M、Q都在BC上，相遇前，3＜t≤，PM＝4，MQ?16?t?2t?16?3t．

31所以S?MQ?PM??6t?32．

2在Rt△AQE中，AQ＝2t，cos?QAE?图2 图3 图4

52162160（3）①当0＜t≤时，S?t2?t?(t?20)2?．

2153153因为抛物线开口向上，在对称轴右侧，S随t的增大而增大，所以当t?5时，S最大，22

85． 65328128②当＜t≤3时，S??2t2?t??2(t?)2?．因为抛物线开口向下，所以当

23398128161．③当3＜t≤时，S?MQ?PM??6t?32．因为S随tt?时，S最大，最大值为

39328的增大而减小，所以当t?3时，S最大，最大值为14．综上所述，当t?时，S最大，最

3128大值为．

9最大值为

◆考点伸展：第（2）题中，M、Q

的？

此时

从相遇到运动结束，S关于t的函数关系式是怎样

16131＜t≤， MQ?t?2t?16?3t?16．因此S?MQ?PM?6t?32． 322

◆强化训练

1. 如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙

沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行； （2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？

（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

图1

3

2. 如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y??3x?34的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y?12x?bx?c的图像上，且该二次函数图8像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；

（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

图1

3. 在正方形

ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线

DC，CB上移动．(1)如图Z10-6①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和

DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；(2)如图Z10-6②，当E，F分

别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图Z10-6③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移

动时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(4)如图Z10-6④，当E，F分

别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最小值．

① ② ③ ④

图Z10-6

4

4． 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，

与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．

（1）求∠OBC的度数；

（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；

（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．

5． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y?ax2?bx?3(a?0)与

（?2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.

x轴交于点A（1）求抛物线的解析式；点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动.其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？

（2）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ?5:2，求K点坐标.

C A O P B x y Q

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