高考数学大一轮复习第五章数列第四节数列求和与数列的综合应用教师用书理6

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第四节 数列求和与数列的综合应用

☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

考纲要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法； 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n项和相关的问题。 微知识 小题练 自|主|排|查 1．公式法与分组求和法 (1)公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。 ①等差数列的前n项和公式：

真题举例 命题角度 2016，天津卷，18,13分(等差数列的证1.本节以分组法、错位相减、倒序相明、数列求和) 加、裂项相消法为主，识别出等差(比)2016，山东卷，18,12分(数列通项与求数列，直接用公式法也是考查的热和) 点； 2015，北京卷，20,13分(数列与函数、2.题型以解答题的形式为主，难度中不等式的综合) 等或稍难。一般第一问考查求通项，2015，四川卷，16,12分(等差、等比数第二问考查求和，并与不等式、函数、列的综合应用) 最值等问题综合。 Sn＝

na1＋an2

＝na1＋nn－12d。

②等比数列的前n项和公式：

?na，q＝1，

S＝?a－aqa1－q?1－q＝1－q1

n1n1

n，q≠1。

(2)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。

2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法

如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那

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么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。

(2)并项求和法

在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解。

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。

3．裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 (2)常见的裂项技巧 ①

nn111

＝－。 n＋1nn＋11?11?1

＝?－?。 n＋22?nn＋2?

1

2n－11

1?1?1

－＝??。

2n＋12?2n－12n＋1?＝n＋1－n。

②

③

④

n＋n＋1

4．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。

微点提醒

1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。

2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。

小|题|快|练

一 、走进教材

1．(必修5P47B组T4改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝A．1

n1

，则S5等于( ) n＋1

5B. 6

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1

C. 6

【解析】 an＝

1D. 30

n1n＋1－n11

＝＝－， n＋1nn＋1nn＋1

所以S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5 11111

＝1－＋－＋…＋－

223565

＝。故选B。 6【答案】 B

2．(必修5P61A组T4(3)改编)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)。 【解析】 设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，② ①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x＋…＋x2

n－1

1－xn－nx＝－nxn，

1－xn1－xnnxn所以Sn＝－。

1－x21－x【答案】

1－xnnxn－

1－x21－x二、双基查验

1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( ) A．2n＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2

【解析】 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1) ＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n 21－2nn＝＋2×

1－2＝2(2n－1)＋n2＋n－n ＝2n＋1＋n2－2。故选C。 【答案】 C

2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( ) A．15

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B．2n＋1＋n2－1 D．2n＋n－2

n＋1

2

－n

B．12

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C．－12

【解析】 ∵an＝(－1)n(3n－2)， ∴a1＋a2＋…＋a10

＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28

D．－15

＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15。故选A。 【答案】 A

3．数列{an}的通项公式是an＝A．9 C．10 【解析】 ∵an＝

＝n＋1－n。 n＋n＋11

1

，前n项和为9，则n＝( )

B．99 D．100

n＋n＋1

∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1。 ∴n＋1－1＝9，即n＋1＝10，∴n＝99。故选B。 【答案】 B

4．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝__________。 【解析】 ∵an＝n·2n，

∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n。① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1。② ①－②，得

－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 21－2n＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1

1－2＝(1－n)2n＋1－2。 ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2。 【答案】 (n－1)2n＋1＋2

??1??

5．数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N)，则数列??的前10项和为________。

??an??

*

【解析】 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝

nn＋1

2

，

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