最新中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第6章课后习题详解

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∵两条曲线

y2?2x、x2?y2?8的交于(2,?2)（舍去x??4的解），

??2?y?2?2 ∴所围区域D1表达为Y-型：?y2?x?8?y??2∴SD2；又图形关于x轴对称，

12y2y34422?2?(8?y?)dy?2(?8?y?)?2(??2?)?2??

00260332y?22sint2?? （其中

?08?ydy2??4022cost?22costdt?8?401?cos2tdt???2） 2 ∴SD2??8?2??44?6?? 33★★★7．求由曲线

y?ex、y?e?x与直线x?1所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7

∵两条曲线

图6-2-7 0 1 1 y y?e?x y?ex D x y?ex和y?e?x的交点为（0，1），又这两条线和x?1分别交于

?1 (1, e)和(1, e)

∴所围区域D表达为X-型：??0?x?1?xx?e?y?e，

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∴SD??(ex?e?x)dx?(ex?e?x)?e?e?1?2

0011★★★8．求由曲线

y?lnx与直线y?lna及y?lnb所围图形的面积(b?a?0)

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8

y y?lnb y?lnx

y?lna 0 ∵在ln1 lna lnb x 图6-2-8 ?lna?y?lnb， x的定义域范围内所围区域D：?y?0?x?e??eydy?eylnalnblnblna∴SD?b?a

★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且

向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小

知识点：平面图形面积和求最值

思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量

解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为y?ax?bx，（由于下

2弯，所以a?0），将（1，2）代入y?ax2?bx，得到a?b?2，因此y?ax2?(2?a)x

该抛物线和X轴的交点为x?0和x?a?2， aa?2?0?x??∴所围区域D：? a2??0?y?ax?(2?a)x精品文档

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∴SD??a?2a0a2?a2[ax?(2?a)x]dx?(x3?x)3202a?2a(a?2)3?6a2

11?SD(a)?[a?2?3(a?2)2?(a?2)3?(?2a?3)]?a?3(a?2)2(a?4)

66得到唯一极值点：a??4，

∴所求抛物线为：

★★★★10．求位于曲线

y??4x2?6x

y?ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积

知识点：切线方程和平面图形面积

思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型

xxxx解：y?e?y??e，∴在任一点x?x0处的切线方程为y?e0?e0(x?x0)

而过（0，0）的切线方程就为：所求图形区域为D

X-型下的D1：?图6-2-10 0 y?e?e(x?1)，即y?ex

?D1?D2,见图6-2-10

y?ex y D1 D2y?exx????x?0?0?x?1D，：?2xx0?y?eex?y?e??1x1??

∴SD??exdx??(ex?ex)dx?e??00e?x221?e?0ee? 22★★★11．求由曲线r?2acos?所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知该曲线是半径为a、圆心（a, 0）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为?a，

2也可选择极坐标求面积的方法做。

解：∵作图6-1-11

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图6-1-11 0 r a 2a????????知所求图形区域D：?22

??0?r?2acos?211221∴SD???(2acos?)d??2a(??sin2?)??a2

?2?22?222??★★★12．求三叶玫瑰线r?asin3?的面积S

知识点：平面图形面积

思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成

图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶， 而一叶图形又关于? r?asin3?D1 ??6对称，

因此选择其中一叶的一半区域D1求其面积

0 ?/6 r 图6-2-12 ???0???解：∵D1：?6??0?r?acos3??

∴SD?6SD1?6?6061111(acos3?)2d??3a2(??sin6?)??a2 22640?★★★13．求由曲线r?2a(2?cos?)所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域D1求其面积

4a 3a 0 r?2a(2?cos?) 6a r 精品文档

图6-2-13