2019年高考数学压轴题 专题12 圆锥曲线问题中同解思想问题(解析版)

x1?x2?(1?22x142)?(1?x242)?D(x1?x2)?E(y1?y2)?2F?0, y1?y2?m, ?5?2mD?mE?2F?0④

因为动直线y?12x?m与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以m??1，

3(m?1)4,E?32m?32,35F??m?, 22由②③④解得:D?代入圆的方程为：x2?y2?整理得：(x2?y2?3(m?1)43335x?(m?)y?m??0, 222234x?5333y?)?m(x?y?)?0, 224223335?22x?y?x?y??0,??x?0,?x?2,?422所以：? 解得：?或?(舍).

333y?1,y?0???x?y??0,??422所以圆过定点(0,1).

?x2?y2?Dx?Ey?F?0?22法2：设圆的一般方程为:x?y?Dx?Ey?F?0,联立?消去y得到：1?y?x?m?24E4x2?(m?D?)x?(m2?Em?F)?0⑤，由题可知方程①和⑤同解

5254EE3??2m?(m?D?)D??m????5222所以?整理得?，又有圆过点A，可得4?2D?F?0且

435?2(m2?1)?(m2?Em?F)?Em?F?m2???5?22?m??1，由上述三个方程联立可得

D?3(m?1)4,E?32m?32,35F??m?，余下同法一.

22x2y23. 设斜率为k的直线与椭圆2?2?1,?a?b?0?相交于P,Q两个不同点（也不同于椭圆的右顶点

ab?a2k2?b22abk?，则过P,Q,A的圆恒过一个异于点A的顶点B ?a?222,b?222? A）

ak+b??ak+b【答案】见解析

【解析】证明：设圆的一般方程为x?y?Dx?Ey?F?0，直线PQ的方程为：y?kx?m。将直线方程代入圆的方程得：k2?1x2??2km?D?kE?x?m2?mE?F?0 （1） 联立直线与椭圆方程得：a2k2?b2x2?2a2kmx?a2m2?a2b2?0 （2） 方程（1）与方程（2）为同解方程，所以

22????

k2?12km?D?kEm2?mE?F??22

a2k2?b22a2kmam?a2b2又圆过点A ?a,0?，则a2?aD?F=0 从而我们可得到关于D,E,F的三元一次方程组

??aD?F=?a2?2kmc2? ?D?kE?222ak?b??c2m2?a2b2?a2b2k2?mE?F?a2k2?b2?解得上述方程组的解为：

?kmc2?ac2k2?D=a2k2?b2?mc2?ac2k? ?E?222ak?b??a2b2+a2b2k2?akmc2?F??a2k2?b2?代入圆的方程为：

kmc2?ac2k2mc2?ac2ka2b2+a2b2k2?akmc2x?y?x?22y??0 2222222ak?bak?bak?b22整理得：

??a2k2?b2?x2??a2k2?b2?y2?ac2k2x?ac2ky??a2b2k2?a2b2???c2?kx?y?ak?m?0

???2ac2k2ac2ka2b2k2?a2b22x?22y??x?y?22所以?ak?b2ak?b2a2k2?b2?0

?kx?y?ak?0?解得：

?a2k2?b2x?a?22??ak?b2或?x?a（舍） ??2abk?y?0?y?b??a2k2?b2?故得证

注：最后解得一元二次方程： a2k2?b2x2?2a3k2x?a2k2?b2a2?0

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1、一知多识广有本领的人，一定谦虚。——谢觉哉 2、人若勇敢就是自己最好的朋友。 半解的人，多不谦虚；见 3、尺有所短；寸有所长。物有所不足；智有所不明。——屈原 4、功有所不全，力有所不任，才有所不足。——宋濂 5、“不可能”只存在于蠢人的字典里。 6、游手好闲会使人心智生锈。