南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题12：圆锥曲线

专题12：圆锥曲线

问题归类篇

类型一：方程的标准形式

一、前测回顾

x2y2

1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是 ．

m4

x2y2

2.双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是 ．

4k3.若a≠0，则抛物线y＝4ax2 的焦点坐标为 ． 1

答案：1.3或5；2.(－12,0)；3.(0,)．

16a

二、方法联想

方程的标准形式

涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴上，抛物线要注意开口方向． 三、归类巩固

*1.以y＝±2x为渐近线的双曲线的离心率是 ．

答案：3或

6

(已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系) 2

*2.以抛物线y2＝4x的焦点为焦点，以y＝±x为渐近线的双曲线的标准方程为 ． x2y2

答案：－＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)

11

22

类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用

一、前测回顾

x2y2

1. 已知F1、F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2．

ab若△PF1F2的面积为9，则b的值为__________．

2.已知定点A(3，2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上的动点，当PA＋PF最小时，点P的坐标为 ．

x2y2πAF

3. 点F为椭圆＋＝1的右焦点，过点F且倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点(AF

433BF＝ ．

3

答案： 1.3；2.(2，2); 3.．

5

二、方法联想

1.涉及焦半径问题时，优先用定义(第一、二定义)，注意焦半径范围． 2.焦点三角形问题从椭圆的性质和三角形的性质两个方面考虑， 常用结论（以焦点在x轴的方程为例）：

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图形 F1 P F2 F1 P F2 定义 离心率 三边与顶角关系 顶角范围 PF1＋PF2＝2a F1F2e＝ PF1＋PF2? PF1＋PF2＝2a，? PF2cosθ＝4c2? PF12＋PF22－2PF1·|PF1－PF2|＝2a F1F2e＝ |PF1－PF2|? |PF1－PF2|＝2a，? PF2cosθ＝4c2? PF12＋PF22－2PF1·∠F1PF2在短轴顶点取最大值(不能直接用于解答题) 11SΔFPF＝PF1·PF2sinθ＝F1F2|yp|＝2212 三角形面积 θb2tan(最后一个不能用于解答题) 2以左焦点F1为例：a－c≤PF1≤a＋c 11SΔFPF＝PF1·PF2sinθ＝F1F2|yp| 2212焦半径范围 以左焦点F1为例： 若P在左支上，则PF1≥c－a 若P在右支上，则PF1≥c＋a

3.若点P为椭圆或双曲线上任意一点，A,B两点关于原点对称，且直线PA,直线PB斜率存在，则kPA·kPB＝e－1 .

三、归类巩固

x2y2

*1.双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在直线，点B为该双曲线的焦点，

ab若正方形OABC的边长为2，则a＝________．

答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)

x2y2

**2.已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别是A，B，线段

259MN的中点在C上，则AN＋BN＝________．

答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)

*3．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点 ．

答案：(1，0) (考查抛物线的定义，直线与圆相切，定点问题)

x2y2x2y2

**4．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为2＋2＝1，双曲线C2的方程为2－2＝1，C1与C2的离心率之积为

abab

3

，则C2的渐近线方程为 ． 2

答案：x±2y＝0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程)

2

x2y2**5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右支与焦点为F的抛物线

abx2?2py(p?0)交于A,B两点，若AF?BF?4OF，则该双曲线的渐近线方程为 .

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答案:y??2x（考查抛物线的定义及抛物线与双曲线的几何性质.） 2

y B B2 x2y2

**6．如图，双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两顶点为A1，A2，

ab

虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径 的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．

S1

则菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝ ．

S22＋5

答案： (考查双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面2何图形的面积计算)

A F1 A 1 F2 O C D B1 几**7．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为 ．

4

答案： (考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线相切问题)

3

1x2y2

**8．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB

2ab的中点，则椭圆C的离心率等于________． 答案：

2

(考查离心率的计算，点差法，中点坐标公式,或常用结论) 2

类型三：离心率或范围的计算

一、 前测回顾

x2y2b1.椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点F到过顶点A(－a， 0)， B(0， b)的直线的距离等于，

ab7则椭圆的离心率为 ．

x2y2

2. 椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1、F2，连接点F1，F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形

ab的另两条边，则椭圆的离心率为 ．

x2y2

3. 已知椭圆E:2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A,B

ab4

两点．若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是 ．

5→→4.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M满足MF1·MF2＝0，则椭圆离心率的取值范围是 ．

x2y2

5.双曲线2－2＝1 (a＞0，b＞0)的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且PF1＝2PF2，

ab则双曲线离心率的取值范围为 ．

132

答案：1.； 2.3－1；3. (0，]；4.[，1)；5.(1，3]．

222二、方法联想

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椭圆离心率范围为(0，1)．双曲线离心率范围为(1，＋∞)．

求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a，b，c的一个齐次关系，从而求出离心率； 求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a，b，c的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a，b，c与某一变化的量之间的一个等量关系，即f(P)＝g(a，b，c)，根据g(a，b，c)在f(P)的值域内，可得关于基本量a，b，c的齐次不等关系． 三、归类巩固

x2y2

*1.已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．

abπ

答案：（已知离心率，求渐近线的倾斜角）

4

x2y2*2.已知双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C

ab的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .

答案:

23 （已知双曲线渐近线与圆的位置关系，求离心率） 3x2y2

*3.双曲线－＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是 ．

4k

答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)

*4．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ．

答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)

*5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ．

答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)

x2y2

**6．已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C 的左，右顶点．P

ab为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ．

1

答案： (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)

3

**7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若PF1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e1，e2，则e1·e2的取值范围是 ．

1

答案：(,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围)

3

**8.设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．

3＋1

答案：(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)

2

类型四：直线与圆锥曲线的综合问题

一、 前测回顾

x2y2

1．(1)点A是椭圆＋＝1的左顶点，点F是右焦点，若点P在椭圆上，且位于x轴上方，满足PA⊥PF，

3620

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