海南历年高考文科数学试题及答案汇编十一函数和导数

令x=0，得，从而得切线与直线x=0的交点坐标为；

令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）； 所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为

．

故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．

2、解：（1）当a=1时，对函数f（x）求导数，得f′（x）=3x﹣6x﹣9． 令f′（x）=0，解得x1=﹣1，x2=3． 列表讨论f（x），f′（x）的变化情况： x （﹣∞，﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞） 1） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） ↑ 极大值6 ↓ 极小值﹣26 ↑ 所以，f（x）的极大值是f（﹣1）=6，极小值是f（3）=﹣26． 22

（2）f′（x）=3x﹣6ax﹣9a的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称． 若

，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，

2

2

2

从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3﹣6a﹣9a，最大值是f′（4a）=15a．

222

由|f′（x）|≤12a，得﹣12a≤3x﹣6ax﹣9a≤12a，于是有（1）=3﹣6a﹣9a≥﹣12a，且

2

f′（4a）=15a≤12a．

由f′（1）≥﹣12a得﹣≤a≤1，由f′（4a）≤12a得所以

2

． ．

，即

若a＞1，则∵|f′（a）|=15a＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立． 所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是

5

．

3、解：（1）由题设，CO=x，CA=|10﹣x|，CB=|20﹣x|， 故y=4×|10﹣x|+6×|20﹣x|，x∈[0，30]

即y=

（2）令y≤70，

当x∈[0，10]时，由160﹣10x≤70得x≥9，故x∈[9，10] 当x∈（10，20]时，由80﹣2x≤70得x≥5，故x∈（10，20] 当x∈（20，30]时，由10x﹣160≤70得x≤23，故x∈（20，23] 综上知，x∈[9，23]

xx

4、解：（1）a=0时，f（x）=e﹣1﹣x，f′（x）=e﹣1．

当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0． 故f（x）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加

x

（II）f′（x）=e﹣1﹣2ax

x

由（I）知e≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x， 从而当1﹣2a≥0，即

时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是当x≥0时，f（x）≥0．

x﹣x

由e＞1+x（x≠0）可得e＞1﹣x（x≠0）． 从而当

时，f′（x）＜e﹣1+2a（e﹣1）=e（e﹣1）（e﹣2a），

x

﹣x

﹣x

x

x

故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．

综合得a的取值范围为

．

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