第5章 刚体力学

11MR2??(MR2?mR2)???mv0R ⑶ 22将⑴代入式⑶，得 ????

说明圆盘破碎后角速度保持不变。 破盘的角动量为

11J????(MR2?mR2)??(M?2m)R2?

22破盘的转动动能为

Ek?

1111J???2?(MR2?mR2)?2?(M?2m)R2?2 222416．如图所示，一质量为M的均质方形薄板，其边长为L，铅直放置着，它可以自由地绕其一固定边转动，若有一质量为m，速度为v的小球垂直于板面碰在板的边缘上。设碰撞是弹性的，试分析碰撞后，板和小球的运动情况。

mv [属性]难易度：2分；所属知识点：角动量守恒、机械能守恒

[答案] 解：当小球撞击板时，因转轴固定，只能作定轴转动，由于外力对转轴的力矩为零，

由小球和薄板所组成的系统对固定轴的动量矩守恒，因此有

mvL?mv1L?J? ⑴

式中v1为小球碰撞后的速度，J为薄板的转动惯量。又因碰撞是弹性的，故系统的动能不变，即

12121mv?mv1?J?2 ⑵ 22212由式⑴和⑵，并将J?ML代入，解得

33m?Mv1?v ⑶

3m?M6mv?? ⑷

3m?ML从式⑶和式⑷可看出，碰撞后板作匀角速定轴转动，对于小球，若m?M/3，小球按原方向运动；若m?M/3，小球碰后返回，即沿原来的反方向运动

四、问答与证明题(共3题)

1．力矩的量纲与功或能量的量纲相同。试问，力矩是否等同于功或能量？

[属性]难易度：2分；所属知识点：力矩、功、能量

[答案] 力矩、功和能量的量纲均为L2MT?2 。但物理量的量纲相同，并不意味着这些物

理量完全等同。力矩为矢量，而功和能量均为标量。从效应角度看，力矩可以驱使物体转动而作功，从而改变物体所具有的能量。

2．刚体的平衡条件与质点的平衡条件有何不同？

[属性]难易度：2分；所属知识点： 刚体与质点

?[答案] 质点的平衡条件为?F外?0，对于刚体来说，仅有上述条件是不够的。合外力

为零，只能保证刚体不发生平动，但它还可以绕定轴转动。只有当刚体所受的合外力为零，而且合外力矩也为零时，刚体才能处于平衡状态，这就是说刚体的平衡条件为

????F外?0 ????M?03．如图所示，质量为M，长为l直杆，可绕水平轴O无摩擦地转动。设一质量为m的子弹沿水平方向飞来，恰好射入杆的下端，若直杆（连同射入的子弹）的最大摆角为??60?，试证子弹的速度为：

v0?(2m?M)(3m?M)gl 26mO M l ? mv0 [属性]难易度：2分；所属知识点： 角动量守恒、机械能守恒 [答案] 证明：碰撞过程，系统角动量守恒

1mv0l?(ml2?Ml2)?

3碰后上摆过程，系统机械能守恒。取直杆下端为势能零点。

Mgl111?(ml2?Ml2)?2?mgl(1?cos60o)?Mgl(1?cos60o) 2232联立求解即可得

v0?

(2m?M)(3m?M)gl6m2