山东省新人教B版数学（理科）2012届高三单元测试18：选修2-1第三章3.2《空间向量在立体几何中的应用》

（Ⅲ）∵ B1D1∥平面BC1D，∴ B1D1与BC1之间的距离为d?A1CBB1A1C?23．

320．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)

(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．

证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．

∴BD1=（－a，－a，a），AB1=（0，a，a），EF（－xE，yF，0），AC=（－a，a，0），， B1C=（－a，0，－a）

∵BD1·AB1=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0， ∴BD1⊥AB1 ， 同理 BD1⊥AC， 而AB1与

??

?

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AC?不共线且相交于点A，

?

EA1D1PGDxAzFO1B1JC1∴BD1⊥平面ACB1，又已知BD1⊥平面EFG， ∴ 平面EFG∥平面ACB1；

又因为BD1⊥平面EFG，所以 BD1⊥EF， 则BD1·EF=0，

即 (－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0， 化简得 xE－yF=0；

同理 xE－zG=0, yF－zG=0， 易得

?

?

?

KyCB ?O?图5*EF?=EF?=

FG?，

∴ △EFG为正三角形．

(2)解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，EF=A1C1=2·a，

∴S?EFG= S?ACD

11??1 = A1C1·A1D·sin600

2

=

13 (2·a)2· 22 =

3·a2 ． 2此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面

?aaaA1C1D，垂足为O1，则O1(，，a)，H(a，a，)，而O1H作为平面A1C1D的法向量，

222所以异面直线EF与B1C的距离设为d是

a2a2(?)?O1H4=3·a． d = O1B1·?=4233aO1H4?(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)