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山东省新人教B版数学(理科)2012届高三单元测试18:选修2-1第三章3.2《空间向量在立体几何中的应用》

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(Ⅲ)∵ B1D1∥平面BC1D,∴ B1D1与BC1之间的距离为d?A1CBB1A1C?23.

320.(证明(1)用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC,EG∥B1C,FG∥AB1来证明,而我们借用向量法使问题代数化,运算简洁,思路简单明了.)

(1)分析:要证平面EFG平面ACB1,由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可.

证明:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图5,不妨设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D1(0,0,a),B1(a,a,a),E(xE,0,a),F(0,yF,a),G(0,0,zG).

∴BD1=(-a,-a,a),AB1=(0,a,a),EF(-xE,yF,0),AC=(-a,a,0),, B1C=(-a,0,-a)

∵BD1·AB1=(-a,-a,a)·(0,a,a)=0, ∴BD1⊥AB1 , 同理 BD1⊥AC, 而AB1与

??

?

??????????

AC?不共线且相交于点A,

?

EA1D1PGDxAzFO1B1JC1∴BD1⊥平面ACB1,又已知BD1⊥平面EFG, ∴ 平面EFG∥平面ACB1;

又因为BD1⊥平面EFG,所以 BD1⊥EF, 则BD1·EF=0,

即 (-a,-a,a)·(-xE,yF,0)=0, 化简得 xE-yF=0;

同理 xE-zG=0, yF-zG=0, 易得

?

?

?

KyCB ?O?图5*EF?=EF?=

FG?,

∴ △EFG为正三角形.

(2)解:因为△EFG是正三角形,显然当△EFG与△A1C1D重合时,△EFG的边最长,其面积也最大,此时,EF=A1C1=2·a,

∴S?EFG= S?ACD

11??1 = A1C1·A1D·sin600

2

=

13 (2·a)2· 22 =

3·a2 . 2此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离,由于两异面直线所在平面平行,所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离,记A1C1与B1D1交于点O1,作O1H∥D1B并交BB1于点H,则O1H⊥平面

?aaaA1C1D,垂足为O1,则O1(,,a),H(a,a,),而O1H作为平面A1C1D的法向量,

222所以异面直线EF与B1C的距离设为d是

a2a2(?)?O1H4=3·a. d = O1B1·?=4233aO1H4?(证明(2)时一般要找到求这两平面距离的两点,如图5*,而这两点为K与J,在立体图形中较难确定,且较难想到通过作辅助线DO1,OB1来得到,加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱,但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想,结合题设,使思路清晰明了,最终使问题的解决明朗化;把握这种思想,不管是空间线线距离,线面距离,面面距离问题,一般我们都能转化成点线或点面距离,再借助平面法向量很好地解决了.)

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(Ⅲ)∵ B1D1∥平面BC1D,∴ B1D1与BC1之间的距离为d?A1CBB1A1C?23. 320.(证明(1)用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC,EG∥B1C,FG∥AB1来证明,而我们借用向量法使问题代数化,运算简洁,思路简单明了.) (1)分析:要证平面EFG平面ACB1,由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可. 证明:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图5,不妨设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D1(0,0,a),B1(a,a,a),E(xE,0,a),F(0,yF,a),G(0,0,zG). ∴BD1=(-a,-a,a),AB1=(0,a,a),EF(-xE,yF,0),AC=(-a,a,0),, B1C=(-a,0,-a)∵BD1·A

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