2020届高三第二次模拟考试卷 理科数学(四) 学生版

PQ1MN?12(1?m2)?23?41?m2?12(1?m2)?12?11?m2， 令t?11?m2，0?t?1， 则

PQMN?t2?12?t?12?12t2?t3，f(t)?12t2?t3，0?t?1， 则f?(t)?3t(8?t)?0，所以函数f(t)在(0,1)上单调递增，所以0?f(t)?11，

所以PQMN的取值范围是(0,112)．

21．【答案】（1）{1}；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知，有f?(x)?1x?ax?ax2?x2， 当a?0时，f(12)??ln2?a?0，与条件f(x)?0矛盾． 当a?0时，若x?(0,a)，则f?(x)?0，f(x)单调递减；

若x?(a,??)，则f?(x)?0，f(x)单调递增．

∴f(x)在(0,??)上有最大值f(a)?lna?a(1a?1)?lna?1?a， 由f(x)?0，知lna?1?a?0， 令g(x)?lnx?x?1(x?0)，则g?(x)?11?x?1?xx， 当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)单调递增；当x?(1,??)时，g?(x)?0，g(x)单调递减．

∴g(x)在(0,??)上有最大值g(1)?0，∴g(x)?lnx?x?1?0，∴lna?a?1?0， ∴lna?a?1?0，∴a?1．

综上，当f(x)?0时，实数a的取值集合为{1}． （2）由（1）可知，当a?1时，f(x)?0，即lnx?1?1x在(0,??)上恒成立， ∴要证ex?1x?2?lnx?x2?(e?2)x，只需证当x?0时，ex?x2?(e?2)x?1?0． 令h(x)?ex?x2?(e?2)x?1(x?0)，则h?(x)?ex?2x?(e?2)． 令u(x)?ex?2x?(e?2)，则u?(x)?ex?2， 令u?(x)?0，得x?ln2．

当x?(0,ln2)时，u?(x)?0，u(x)单调递减；当x?(ln2,??)时，u?(x)?0，u(x)单调递增， 即h?(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,??)上单调递增． 而h?(0)?1?(e?2)?3?e?0，h?(ln2)?h?(1)?0， ∴存在x0?(0,ln2)，使得h?(x0)?0．

当x?(0,x0)时，h?(x)?0，h(x)单调递增；当x?(x0,1)时，h?(x)?0，h(x)单调递减；当

x?(1,??)时，h?(x)?0，h(x)单调递增．

又h(0)?1?1?0，h(1)?e?1?(e?2)?1?0，

∴对任意x?0，h(x)?0恒成立，ex?x2?(e?2)x?1?0． 综上所述，ex?1x?2?lnx?x2?(e?2)x成立． 22．【答案】（1）?2?4?sin??5?0；（2）(2,π4)．

【解析】（1）将曲线C的参数方程消去参数?，得x2?(y?2)2?9，

所以曲线C的普通方程为x2?(y?2)2?9．

将x??cos?，y??sin?代入x2?(y?2)2?9，得?2?4?sin??5?0，

所以曲线C的极坐标方程为?2?4?sin??5?0．

（2）因为?sin(??ππ4)?0，所以?sin?cos4??cos?sinπ4?0， 因为?cos??x，?sin??y，所以直线l的直角坐标方程为x?y?0，

?x2?(y?2)2联立方程，得??9，消去y，得?x?y?02x2?4x?5?0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?2，所以y1?y2?x1?x2?2，

所以

x1?x2y?y2?1，122?1， 所以线段AB中点的直角坐标为(1,1)，则其极坐标为(2,π4)．

23．【答案】（1）{x?7135?x?3}；（2）[?512,12]．

???3x?3,x??2?1?【解析】（1）由题意可得g(x)???5x?1,?2?x?，

4?1?3x?3,x???4当x??2时，由?3x?3?6，得x??1，无解；

1771时，由?5x?1?6，得x??，即??x?； 当?2?x?4554当x?14时，由3x?3?6，得x?3，即14?x?3．

综上，g(x)?6的解集为{x?75?x?3}． （2）因为存在x1，x2?R，使得f(x1)??g(x2)成立， 所以{yy?f(x),x?R}I{yy??g(x),x?R}??． 由（1）可知，g(x)?[?94,??)，则?g(x)?(??,94]， 又f(x)?3x?a?3x?1?(3x?3a)?(3x?1)?3a?1， 所以3a?1?9134，解得?12?a?512，

[?13故a的取值范围为

12,512]．