【最新整理】北师大初中数学中考总复习：图形的变换--知识讲解(基础)

6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接 EF．将△EOF绕点O逆时针旋转?角得到△E1OF1(如图2)． (1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明； (2)当?＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．

【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边； (2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°. 【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：

∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF . ∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转?角得到，∴OE1＝OF1. ∵ ∠AOB＝∠EOF＝90， ∴ ∠E1OA＝90－∠F1OA＝∠F1OB.

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?OE1＝OF1? 在△E1OA和△F1OB中，??E1OA＝?FOB，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）. 1? ?OA＝OB ∴ AE1＝BF1.

(2)取OE1中点G，连接AG.

∵∠AOD＝90，?＝30° ，

∴ ∠E1OA＝90－?＝60°.

∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°. ∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.

∴ ∠E1AO＝90°.

∴△AOE1为直角三角形.

【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：

【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).

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(1)求∠APB的度数；

(2)求正方形ABCD的面积.

【答案】(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ. 则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB. 于是PB=QB=2a， 在△PQC中，∵ ∴ ∴

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，

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∵ △PBQ是等腰直角三角形， ∴ ∠BPQ=∠BQP=45°.

故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.

(2)∵ ∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°， ∴ 三点A、P、Q在同一直线上.

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在Rt△AQC中， ∴ 正方形ABCD的面积

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