【最新整理】北师大初中数学中考总复习：图形的变换--知识讲解(基础)

3（2016?贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，

求证：∠B=30°，请你完成证明过程．

（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．

（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．

【思路点拨】（1）Rt△ABC中，根据sinB═

=，即可证明∠B=30°；

（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．

（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案． 【答案与解析】

（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinB=

=，

，

∴∠B=30°；

（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点， ∴EA=FD=×边长=1，

∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处， ∴A′D=AD=2， ∴

=，

∴∠FA′D=30°，

可得∠FDA′=90°﹣30°=60°， ∵A沿GD折叠落在A′处， ∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G， ∴∠ADG=

=

=15°，

∵A′D=2，FD=1， ∴A′F=

=，

∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，

∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°， ∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，

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∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°， 则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；

（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O， ∴AO=AD=CB=CO， ∴DA=

，

∵∠D=90°， ∴∠DCA=30°， ∵AB=CD=6， 在Rt△ACD中，

=tan30°，

=2

，

=30°，

则AD=DC?tan30°=6×∵∠DAF=∠FAO=∠DAO=∴

=tan30°=

AD=2，

，

∴DF=

∴DF=FO=2， 同理EO=2， ∴EF=EO+FO=4．

【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通． 举一反三： 【变式】（2016·松北区模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下

角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝ 度.

【答案】∵∠CPR=1111∠B=×120°=60°，∠CRP=∠D=×50°=25°， 2222∴∠C=180°－60°－25°=95°． 4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a

在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM?所在直线重合（如图3），折痕为MN． （1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．

（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，?MN间的距离有何变化？请说明理由．

（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？

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（1） （2） （3） （4） 【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．

（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．

（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解． 【答案与解析】 （1）PQ∥MN． ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC． ∴∠AMP=∠MPC． 由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=∠NMP=∠AMN=1∠MPC， 21∠AMP， 2∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．

（2）两折痕PQ，MN间的距离不变． 过P作PH⊥MN，则PH=PM?sin∠PMH， ∵∠QPC的角度不变，

∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的． 又∵AD∥BC，

∴所有的PM都是相等的．

又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变． （3）当∠QPC=45°时， 四边形PCQC′是正方形， 四边形C′QDM是矩形． ∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a， ∴矩形C′QDM的周长为2a．

同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．

【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定． 类型三、旋转变换

5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：

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（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；

（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?

【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD. 【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD. ∵ △ABC是等边三角形

∴ ∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°) ∵ BC=AC，OC=CD

∴ △BCO≌△ACD (SAS) ∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC 又∵OC=OD

∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形 ∵ ∠AOB=110°, ∠BOC=135° ∴ ∠AOC=115°

∴ ∠AOD=115°-60°=55° ∵ ∠ADC=135°

∴ ∠ADO=135°-60°=75°

∴ ∠OAD=180°-55°-75°=50°

∴ 以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.

（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC

=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)

=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360° ∴∠AOD+∠ADO=130° ∴∠OAD=50°

当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°; 当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.

【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨 论思想．

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