2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅰ.理)含详解

2020年最新

2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案

一、选择题： （1）D （2）B （7）D （8）D 二、填空题： （13）36

（3）A （9）B

x（4）A （10）D （5）C （11）C （6）C （12）A

（14）3(x?R)

（15）

1 3

（16）23 三、解答题： （17）解：

（Ⅰ）由a?2bsinA，根据正弦定理得sinA?2sinBsinA，所以sinB?由△ABC为锐角三角形得B?1， 2π． 6?????A? ??（Ⅱ）cosA?sinC?cosA?sin???????cosA?sin??A?

?6?13?cosA?cosA?sinA

22????3sin?A??．

3??由△ABC为锐角三角形知，

???????A??B，?B???． 2222632????A??， 336所以

1???3． sin?A???2?3?23??3??3sin?A????3， 23?2?由此有

?33?所以，cosA?sinC的取值范围为???2，?． 2??（18）解：

（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．

2020年最新

2020年最新

知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

P(A)?(1?0.4)2?0.216，

P(A)?1?P(A)?1?0.216?0.784．

（Ⅱ）?的可能取值为200元，250元，300元．

P(??200)?P(??1)?0.4，

P(??250)?P(??2)?P(??3)?0.2?0.2?0.4，

P(??300)?1?P(??200)?P(??250)?1?0.4?0.4?0.2．

?的分布列为

? P 200 0.4 250 0.4 300 0.2 E??200?0.4?250?0.4?300?0.2

?240（元）．

（19）解法一：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO，

又∠ABC?45，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC， 故SA⊥AD，由AD?BC?22，SA?S 3，AO?2，得 SO?1，SD?11．

C O A

△SAB的面积S1?1AB2?1?SA2??AB??2．

?2?2B

D 连结DB，得△DAB的面积S2?1ABADsin135?2 2设D到平面SAB的距离为h，由于VD?SAB?VS?ABD，得

11hS1?SOS2， 33解得h?2．

2020年最新

2020年最新

设SD与平面SAB所成角为?，则sin??h222． ??SD111122． 11所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin解法二：

（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．

因为SA?SB，所以AO?BO．

又∠ABC?45，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O?xyz， z A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，?2，0)，S(0，0，?1)， 01)，，SA?(2，CB?(0，22，0)，SACB?0，所以SA⊥BC．

S G C D A ?22?（Ⅱ）取AB中点E，E?0??2，2，?，

??O E B y

?221?连结SE，取SE中点G，连结OG，G?． ??4，4，?2???221??22?AB?(?2，2，0)． OG??1???4，4，?，SE???2，2，?，2????x SEOG?0，ABOG?0，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直．

所以OG?平面SAB，OG与DS的夹角记为?，SD与平面SAB所成的角记为?，则?与?互余．

D(2，22，0)，DS?(?2，22，1)．

cos??OGDSOGDS?2222，sin??，

111122． 11所以，直线SD与平面SAB所成的角为arcsin（20）解：

（Ⅰ）f(x)的导数f?(x)?e?e．

x?x2020年最新

2020年最新

由于ex?e-x≥2exe?x?2，故f?(x)≥2． （当且仅当x?0时，等号成立）． （Ⅱ）令g(x)?f(x)?ax，则

y A D x

g?(x)?f?(x)?a?ex?e?x?a，

B （ⅰ）若a≤2，当x?0时，g?(x)?e?e?a?2?a≥0， x?xP F1O F2 C 故g(x)在(0，∞?)上为增函数，

所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．

a?a2?4（ⅱ）若a?2，方程g?(x)?0的正根为x1?ln，

2此时，若x?(0，x1)，则g?(x)?0，故g(x)在该区间为减函数．

所以，x?(0，x1)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)?ax，与题设f(x)≥ax相矛盾． 综上，满足条件的a的取值范围是??∞，2?． （21）证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距c?3?2?1，

22由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x0?y0?1，

2222y0x0y0x21?≤???1． 所以，32222（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k?0时，BD的方程为y?k(x?1)，代入椭圆方程

x2y2??1，并化简得(3k2?2)x2?6k2x?3k2?6?0． 32设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则

6k23k2?6x1?x2??2，x1x2?2

3k?23k?2BD?1?k243(k2?1)x1?x2?(1?k)??(x2?x2)?4x1x2???3k2?2；

222020年最新