运动学分析

APSi??AXSiAYSiAZSi （2.6）

?T则可以得到5个驱动杆长在定系?A?中的矢量Li?(AXSi?AXUi,AYSi?AYUi,AZSi?AZUi)T，即

Li?APSi?APUi?RBPSi?APBO?APUi （2.7）

其中，i?1,2,?5。

可用Z?Y?X欧拉角(?,?,?)表示方向余弦矩阵R，由于本机构约束??90?，则R简化如下：

?c?c?AR?BRZ?Y?X(?,?,??90?)???s?c????s?c?s?s?s?c?s???c??? （2.8） 0??根据5个驱动杆的动平台铰链点在定系?A?下的坐标和已知的定平台上虎克铰点的坐标，即可求得各驱动杆长度为

li?Li?APSi?APUi?(AXSi?AXUi)2?(AYSi?AYUi)2?(AZSi?AZUi)2 （2.9）

其中，i?1,2,?5。

由上式，可以将测量机工作空间中规划好的动平台中心点的位姿，转化为关节空间中的驱动杆杆长，从而实现对测头位姿的控制。 2.3.4 驱动支链的分析

采用单开链分析方法对驱动链进行运动学分析并建立运动学模型，即将机构划分成5个单开链（1个UPU，4个UPS支链）。每一个驱动链以定平台坐标系原点作为起始点，到动平台相对应的球铰中心或虎克铰中心结束，支链包括一个虎克铰，一根驱动杆和一个球铰（或虎克铰）。

在驱动链上建立坐标系，如图2.3所示。Ui?x0y0z0坐标系（见图2.2）建立在虎克铰链Ui中心上，x0轴方向竖直向下，z0轴沿着铰链的固定转动轴线，y0轴沿着铰链的另一个转动轴线。将Ui?x0y0z0坐标系首先绕z轴旋转角度?1i，然后绕y轴旋转角度?2i，则坐标系Ui?x0y0z0转换为坐标系Ui?x1y1z1；再把坐标系Ui?x1y1z1沿x1轴运动li，会得到坐标系Ui?x2y2z2，铰链中心点在坐标系Ui?x2y2z2中的坐标是?000?。

T 5

图2.3 驱动链分析坐标系建立

Fig. 2.3 Coordinate system of the driving limb

坐标系Ui?x0y0z0相对于定系?A?的变换矩阵为

??100xi?A0c?i?s?iy?i0T????0s?ic?iz?? i?0001??坐标系Ui?x1y1z1相对于坐标系Ui?x0y0z0的变换矩阵为

0T???R(z,?1i)R(y,?2i)0?1?01?? ?c?1i?s?1i0?其中，R(z,?1i)???s?1ic?1i0???001? ????c?2i0s?2i?R(y,??2i)??010???s?2ic?? 02i??坐标系Ui?x2y2z2相对于坐标系Ui?x1y1z1的变换矩阵为

2.10） 2.11） 6

（ （

?1?01?2T??0??000li?100?? （2.12） 010??001?由式（2.10）、（2.11）、（2.12）可以得到坐标系Ui?x2y2z2相对于定系?A?的变换矩阵为

?10?0c?iAA01T2T??2T?0T1?0s?i??00c?1ic?2i??c?s?c??s?s?i2i??i1i2i?s?is?1ic?2i?c?is?2i?0?0?s?ic?i0?s?1ic?ic?1is?ic?1i0xi??10?01yi?R(z,?)R(y,?)0??1i2i????zi??01??00??1??00c?1is?2ic?is?1is?2i?s?ic?2is?is?1is?2i?c?ic?2i00li?00?? 10??01??lis?1ic?2ic?i?lis?2is?i?yi?? lis?1ic?2is?i?lis?2ic?i?zi??1?lic?1ic?2i?xi（2.13）

由式（2.13）得到铰链中心（铰链中心为球铰或虎克铰中心）在定系?A?下的坐标矢量为

lic?1ic?2i?xi???ls?c?c??ls?s??y?i?1)T?A001)T??i1i2iii2ii （2.14） 2T(0?lis?1ic?2is?i?lis?2ic?i?zi???1??(XSiYSiZSi由式（2.14）得到虎克铰的两个转角的数学模型为

(AYSi?AYUi)c?i?(AZSi?AZUi)s?i （2.15） ?1i?arctanAAXSi?XUi(AYSi?AYUi)s?i?(AZSi?AZUi)c?i （2.16） ?2i?arcsinli其中：i?1,2,?5，?i为虎克铰的安装角度。

(AXUi(AXSiAYUiAZUi)为铰链安装点Ui在定坐标系?A?下的位置坐标值；

AYSiAZSi)为铰链安装点Si在定坐标系?A?下的位置坐标值。

定义杆长Li在定系?A?下的三个坐标轴分量为lxi、lyi、lzi，则

?lxi?AXSi?AXUi?AA?lyi?YSi?YUi （2.17） ?l?AZ?AZSiUi?zi

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将式（2.17）代入（2.15）、（2.16），得

?1i?arctanlyic?i?lzis?ilxilyis?i?lzic?ili （2.18）

?2i?arcsin （2.19）

将式（2.18）、（2.19）两端对时间t求导

(l?yic?i?l?zis?i)lxi?(lyic?i?lzis?i)l?xi? （2.20） ?1i?2lxi?(lyic?i?lzis?i)2(l?yis?i?l?zic?i)li?(lyis?i?lzic?i)l?i??2i? （2.21） 22lili?(lyis?i?lzic?i)2.3.5 速度雅克比矩阵

并联坐标测量机的驱动杆与动平台之间的速度映射关系，可以通过雅克比矩阵来进行描述。雅克比矩阵是分析和优化测量机性能强有力的工具，通过对雅克比矩阵进行奇异值分解，可以对机构的结构参数进行优化，避免奇异位形的出现。

如图2.4所示，在定系?A?中，vBO为动平台中心点OB的线速度，ωB为动平台的角速度，ri为铰链点Si相对于的OB矢径，vSi为铰点Si的速度，ni为杆Li的单位方向矢量，

l?i为杆Li的杆长变化速率，即驱动杆驱动速率，其中i?1,2,?,5。

图2.4 运动速度分析示意图

Fig. 2.4 Velocity diagram of the mechanism

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