广东省揭阳市2016届高三学业水平考试试题 数学（理）

X 8800 0.1 9400 0.2 10000 0.3 10200 0.3 10400 0.1 A1P ?EX?8800?0.1?9400?0.2?10000?0.3?10200?0.3?10400?0.1?9860.------12分

A19.（I)证法1：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE， 则E为AC1中点，-------------------------------2分 ∵D为AB的中点，∴DE∥BC1，------------------4分 ∵BC1?平面A1CD，DEì平面A1CD，-------------5分 ∴BC1∥平面A1CD. ------------------------------6分 【证法2：取A1B1中点D1，连结BD1和C1D1，------1分 ∵BD平行且等于A1D1 ∴四边形BDA1D1为平行四边形

∴A1D//BD1 -----------------------------------------------------------------2分 ∵A1D?平面ACD，BD1?平面ACD 11∴BD1//平面ACD,------------------------------3分 1同理可得C1D1//平面ACD------------------------4分 1DCBB1AD1C1A1BDCB1EC1//平面BD1C1 ∵BD1?C1D1?D1 ∴平面ACD1又∵BC1?平面BD1C1

∴BC1∥平面A1CD. ------------------------------6分】

(II) ?AD2+A1A2=5=A1D2 \\A1A^AD,-------------------------------------7分 又B1B^BC,B1B//A1A \\A1A^BC，

又AD?BC?B \\A1A^面ABC-------------------------------------------8分 法一：设BC的中点为O，B1C1的中点为O1，以O为原点，OB所在的直线为x轴，OO1所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系O?xyz.------------------9分

骣13÷÷,0,?则A10,2,3，D?. ÷?÷?22桫()zAA1?????∴A1D?(1,?2,?3),--------------------10分

22·9·

DOCO1C1yxBB1

?平面CBB1C1的一个法向量n=(0,0,1),

???????????????|A1D?n|15所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为

????|cos?A1D,n?|???????.10|A1D|?|n|15.-------------------------------12分 10【法二：取B1C1的中点H，连结A1H，则A1H?B1C1-------------------------------7分

AA1∵AA1?面A1B1C1，故AA1?A1H,?BB1?A1H

D?B1C1?BB1?B1,?A1H?面BCC1B1------9分

延长A1D、B1B相交于点F，连结FH，

FBCHB1C1则?A1FH为直线A1D与平面BCC1B1所成的角. ------------------------------------10分 因为D为AB的中点，故A1F?25，又A1H?3 ?sin?A1FH?315 ?251015.------------------------------12分】 10即直线A1D与平面BCC1B1所成的角的正弦值为【法三：取B1C1的中点H，连结A1H，则A1H?B1C1-------------------------------7分 ∵AA1?面A1B1C1，故AA1?A1H,?BB1?A1H

?B1C1?BB1?B1,?A1H?平面BCC1B1------------------------------------------9分

取A1B1中点M，连结BM，过点M作MN//A1H，则MN?平面BCC1B1， 连结BN，∵A1D//BM,

∴?MBN为直线A1D与平面BCC1B1所成的角，---10分 DAA1MCBNB1HC11AHMN21315???∵sin?MBN?, BMA1D1025·10·

即直线A1D与平面BCC1B1所成的角的正弦值为15.------------------------------12分】 10x2y220.解：（I）设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，

ab则由题意知2b=2,\\b=1.-------------------------------------------------------2分

125a2?b225?1?? ?22a5a5解得a2?5，--------------------------------------------------------------------4分

x2∴椭圆C的方程为?y2?1. ---------------------------------------------------5分

5（II）证法1：设A、B、M点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0)，

易知F点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分 显然直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y?k(x?2)，-----------7分 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

(1?5k2)x2?20k2x?20k2?5?0------------------------------------------------9分 20k220k2?5?x1?x2?,x1x2?. -------------------------------------------10分

1?5k21?5k2又?MA??1AF,MB??2BF,将各点坐标代入得?1?x1x2,?2?. 2?x12?x240k240k2?10?22x1x22(x1?x2)?2x1x21?5k1?5k??1??2??????10.-------12分 2240k20k?52?x12?x24?2(x1?x2)?x1x24??1?5k21?5k2【证法二：设点A、B、M的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0).

易知F点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分

?MA??1AF,?(x1,y1?y0)??1(2?x1,?y1).∴x1?·11·

y2?1,y1?0.------------7分 1??11??1

将A点坐标代入到椭圆方程中，得(y12?12)?(0)2?1.去分母整理得

51??11??122?1?10?1?5?5y0?0. --------------------------------------------------------9分

同理，由MB??2BF可得?2?10?2?5?5y0?0---------------------------------10分

即 是方程 ? 2 ? 10?? 5 ? 5 y 2 ? 0 的两个根，??1??2??10.-------------------12分】 0 21．解：（I）∵f?(x)?22ab?,且直线y?2的斜率为0，又过点(1,2)， xx2?f(1)?2,?∴?1-------------------------------------------------------------------2分

f?(1)?,??2?b?1,即?解得a?1,b?1.-----------------------------------------------------3分

a?b?0,?（II）当x?1时，不等式

(x?k)lnxx2?1x2?1f(x)??(x?1)lnx??(x?k)lnx?(k?1)lnx??0.----------------5分

x?1xxx2?1k?11x2?(k?1)x?1令g(x)?(k?1)lnx?，----------------7分 ,g?(x)??1?2?2xxxx令m(x)?x?(k?1)x?1，

21?k所以当x?1时，g?(x)?0，g(x)?1,即k??1时，m(x)在(1,??)单调递增且m(1)?0，2(x?k)lnx在(1,??)单调递增，?g(x)?g(1)?0.即f(x)?恒成立．------------9分

x?11?k1?k1?k②当?1,即k??1时，m(x)在上(1,)上单调递减，且m(1)?0，故当x?(1,)时，222?1,?2m(x)?0即g?(x)?0, ①当所以函数g(x)在(1,当x?(1,1?k)单调递减，----------------------------------------------10分 21?k)时，g(x)?0,与题设矛盾, 2综上可得k的取值范围为[?1,??).------------------------------------------------12分

22.解：（I）?EP与⊙O相切于点A，??ACB??PAB?250，-----------------------1分

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