黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

1、（线性性）若f?x?,g?x?是定义在?a,b?上黎曼可积函数,则

f?x??g?x?,f?x??g?x?,f?x?g?x?也在?a,b?上黎曼可积.

注

?f?x??g?x?dx??f?x?dx??g?x?dx,但?g?x?f?x?dx??f?x?dx?g?x?dx.

aaaaaabbbbbb2、（区域可加性）设有界函数f?x?在?a,c?,?c,b?上都黎曼可积,则f?x?在?a,b?上也黎曼可积,且有

?f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx.

aacbcb3、（单调性）若f?x?,g?x?是定义在?a,b?上黎曼可积,且f?x??g?x?,则

?f?x?dx??g?x?dx.

aabb4、（可积必绝对可积）若f?x?在?a,b?上黎曼可积,则f?x?在?a,b?上也黎曼可积,且有

?f?x?dx??f?x?dx.

aabb注 其逆命题不成立.

5、若f?x?在?a,b?上黎曼可积,则在?a,b?的任意内闭子区间??,????a,b?上也黎曼可积.且其积分值不会超过在?a,b?上的积分值.

6、若f?x?是?a,b?上非负且连续的函数,若有?f?x?dx?0,则f?x?在?a,b?上恒等于零.

017、若f?x?,g?x?是?a,b?上的黎曼可积函数,则M?max?f?x?,g?x?? ,

m?min?f?x?,g?x??在?a,b?上也黎曼可积.

8、若f?x?在?a,b?上黎曼可积,可积.

勒贝格积分的性质

11在?a,b?上有定义且有界,则也在?a,b?上黎曼f?x?f?x?

5

1、（有限可加性）设f?x?是有界可测集E上的可积函数,E??EK,EK等均可测且两

k?1n两互不相交,则有

f?x?dx?E?f?x?dx?E1?f?x?dx?E2???f?x?dx. ?En2、对于给定的可测函数f?x?,f?x?与f?x?的可积性相同且

f?x?dx?E?f?x?dx. ?E3、(单调性)若f?x?,g?x?在E上勒贝格可积,且f?x??g?x?几乎处处成立,则

f?x?dx??g?x?dx. ?EE4、f?x?是E上的非负可积函数,则f?x?在E上是几乎处处有限的.

5、f?x?是E上的非负可测函数,若f?x?在E上几乎处处等于0,则?f?x?dx?0.

E6、(零测集上的积分)若mE?0,则?f?x?dx?0.

E7、f?x?是E上的勒贝格可积函数,f?x??0在E上几乎处处成立,则?f?x?dx?0.

E8、设f?x?在E上可测,若存在非负函数g?x?在可测集E上勒贝格可积,f?x??g?x?几乎处处成立,则f?x?在可测集E上勒贝格可积.

9、f?x?在可测集E上勒贝格可积,A是E的可测子集,则f?x?在A上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E上的积分值.

10、设f?x?在E上可测,则?f?x?dx?0的充要条件是f?x??0在E上几乎处处成立.

E11、设f?x?,g?x?均在E上勒贝格可积,则M?max?f?x?,g?x??,m?min?f?x?,g?x??也 在E上勒贝格可积.

12、若f?x?与g?x?在E上几乎处处相等,则g?x?也可积,且

f?x?dx?E?g?x?dx. ?E13、设f?x?在可测集E上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数

14、设f?x?为可测集E上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数g?x?,使得g?x?导

6

函数在E上几乎处处等于f?x?.

黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较

与黎曼积分相关的定理

⒈若函数列fn?x?在区间I上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数f?x?也在I上连续.

⒉（可积性）若函数列fn?x?在区间I上一致收敛,且每一项都连续,

?limf?x?dx?lim?f?x?dx.

an??nn??nabb⒊（可微性）设fn?x?为定义在?a,b?上的函数列,若x0??a,b?为fn?x?的收敛点,且fn?x?的每一项在?a,b?上都有连续的导数,fn??x?在?a,b?上一致收敛,则

ddlimfn?x??limfn?x?. n??n??dxdx??⒋有界收敛定理设fn?x?是定义在?a,b?上的黎曼可积函数. ⑴fn?x??M?n?1,2?,x??a,b??.

⑵f?x?是定义在?a,b?上的黎曼可积函数.且limfn?x??f?x?.则有

n??lim?fn?x?dx??f?x?dx.

n??aabb与勒贝格积分相关的定理

⒈（勒维定理）设可测集E上的可测函数列fn?x?满足如下条件:

0?f1?x??f2?x???,limfn?x??f?x?,则fn?x?的积分序列收敛于f?x?的积分

n??

f?x?dx?E?limn??fn?x?dx. ?E⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E上的可测函数列fn?x?满足如下条件: ⑴fn?x?的极限存在,limfn?x??f?x?.

n??⑵存在可积函数g?x?使得fn?x??g?x?,?x?E,n?N?那么f?x?可积,有

7

f?x?dx?E?limn??fn?x?dx. ?E⒊设mE??,E上的可测函数列fn?x?满足如下条件: ⑴fn?x??g?x?,?x?E,n?N?,g?x?可积. ⑵fn?x?依测度收敛于f?x?,那么f?x?可积,有

f?x?dx?E?lim?n??fn?x?dx. ?E⒋设fn?x?是?a,b?上的增函数列,且有?fn?x?在?a,b?上收敛,则

n?1d????d??fn?x????fn?x?. dx?n?1?n?1dx

8