管理类联考初数《整除》详解

http://www.hengshor.com

管理类联考初数（一）整除

1、数的整除

整除的定义：当整数a除以非零整数b，商正好是整数而余数为零时，则称a能被b整除，或b

能整除a，记作b∣a。

当b∣a时，称a是b的倍数，b是a的约数（因数）。 0能被任何整数整除，1能整除任何整数。 整除的性质：

1、传递性：若a∣b，b∣c，则a∣c

2、可加可减性：若a∣b，a∣c，则a∣（b±c） 3、可乘性，若a∣b，则a∣m×b 4、可拆性：若ab∣c，则a∣c，b∣c

5、★互质可除性：若a∣mb，且（a，m）=1，则a∣b

（注：（a，m）即两数的最大公因数，（a，m）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。）

例1：若a∣b，b∣c，则当m=（ ）时，m∣c。 （A）a?b（B）

b（C）a?b（D）b?a（E）ab a解析：令b?Ma,c?Nb?MNa(M,N?正整数） 例2：

n是一个整数。 143n也是一个整数； 14n（2）n是一个整数，且也是一个整数。

7（1）n是一个整数，且解析：利用整除性质做题

3n是一个整数，14∣3n，由于（14，3）=1，所以14∣n 14n条件（二）是一个整数，n∣7，根据整除性质无法推出n∣14。

7条件（一）

http://www.hengshor.com

所以选（A）

整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数） 能被2/5整除的数：个位能被2/5整除；

能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除；

能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除； 能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。

能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。

例3：数A能被11整除。

（1）A是形如abcabc的数（a是1~9的整数，b、c均为0~9的整数）；

?321 （2）A=3232?????10个32解析：直接利用整除特征做题

条件（1），利用末三位法，abc－abc=0，11∣0，所以abcabc是11的倍数；

条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3×10+1=31，偶数位之和2×10=20，差为31－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分

答案选（D）

例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的人数 （）

（A）一定是4的倍数 （B）不一定是4的倍数 （C） 一定不是4的倍数 （D） 一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E）以上均不正确 解析：通过分析具体的情境判断数的性质

设有同学A1，和他（她）同性的仍记为A2，异性的记为B，则A两侧的排列应该是A2A1B1B2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A。

连续n个数乘积可被n整除原则。连续n个正整数之积一定是n的倍数。 推广：连续n个数乘积一定是n！的倍数。

http://www.hengshor.com

例5：若n是一个大于100的整数，则n3?n一定有约数 （）

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8 （E）以上均不正确 解析：利用连续n个数乘积可被n！整除原则。

n3?n=?n?1?n?n?1?，有定理：连续k个数的乘积一定能被k整除。所以?n?1?n?n?1?既能

被2整除，又能被3整除，故选B。 练习题：

1.从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）个。 （A）64 （B）48 （C）56 （D）46 （E）55 2.如果2m是3的倍数，3m是2的倍数，那么m必然是（ ）的倍数。 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （E）9 3.m?n。

（1）m|n,且n|m； （2）m?n且n?m。

4.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（ ）

（A）858 （B）855 （C）852 （D）849 （E）868 5.

9a是整数。 289ap（p，q是互质的正整数），是一个整数；

14q7ap（p，q是互质的正整数），是一个整数。

16q（1）若a?（2）若a?6、若m?n(n?2)(n?4)，则m（ ） （A）必然是2的倍数 （B）必然是3的倍数 （C）必然至少是6的倍数 （D）必然不能被任何数整除

http://www.hengshor.com

（E）不一定是某个数的倍数

7、有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。

（A）10 （B）7 （C）8 （D）5 （E）6 8、下面说法中有（ ）是正确的。 （1）0可以被任何整数整除； （2）如果a|c,b|c,a?b则ab|c； （3）一个数是4的倍数，必然是2的倍数；

（4）如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么1078（m,nm?3647n必然也是7的倍数。是正整数）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4 练习题讲评：

1、前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。

根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+24－8=56个。选（C） 2、显然m必然是2和3的倍数，即是6的倍数。选（C）。

3、两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件（1）充分；条件（2）显然也充分，选（D） 4、17的两位数倍数最大是85，个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。选（A）

5、条件（1），当a?14时，显然结论不成立，条件（1）不充分；条件（2），当a?16时，显然结论不成立。

条件（1）（2）联合起来，p既是14的倍数，又是16的倍数，q既是9的约数又是7的约数，可见q=1，p是112的倍数。显然a是28的倍数。选（C）

6、显然当n为奇数时，m是个奇数，不能被2整除。再看一下能否被3整除，此时n除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2，逐一验证发现三种情况下，m都能被3整除，选（B）。 7、奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。这样的四个数可以是1、3、5、9（大家可以验证其它都不可以）。由于有5存在，个位必须是5。前三位共有6种排法。选（E）

8、（1）显然当除数为0时不成立；（2）当a?3,b?6,c?12时，显然不成立。所以整除的可拆