【全国百强校Word】衡水金卷2018届全国高三大联考理数试题

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易知直线MN不能平行于x轴. 所以令直线MN的方程为x?my?1，

M(x1,y1)，N(x2,y2).

联立方程??3x2?4y2?12?0,，?x?my?1,

得(3m2?4)y2?6my?9?0， 所以y6m1?y2?3m2?4，y1y2??93m2?4. 此时MN?(1?m2)[(y21?y2)?y1y2]， 同理，令直线PQ的方程为x?my?1，

P(x3,y3)，Q(x4,y4)，

此时y3?y4??6m3m2?4，y?93y4?3m2?4， 此时PQ?(1?m2)[(y23?y4)?4y3y4]. 故|MN|?|PQ|.

所以四边形MNPQ是平行四边形.

若YMNPQ是菱形，则OM?ON，即uOMuuur?uONuur?0，

于是有x1x2?y1y2?0. 又x1x2?(my1?1)(my2?1)，

?m2y1y2?m(y1?y2)?1，

所以有(m2?1)y1y2?m(y1?y2)?1?0，

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整理得到

?12m2?53m2?4?0， 即12m2?5?0，上述关于m的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ不可能是菱形.

21.解：（1）由题意得f'(x)?ex?(1?a).

当1?a?0，即a??1时，f'(x)?0，f(x)在R内单调递增，没有极值. 当1?a?0，即a??1， 令f'(x)?0，得x?ln(a?1)，

当x?ln(a?1)时，f'(x)?0，f(x)单调递减； 当x?ln(a?1)时，f'(x)?0，f(x)单调递增，

故当x?ln(a?1)时，f(x)取得最小值f(ln(a?1))?a?1?b?(1?a)ln(a?1)，无极大值. 综上所述，当a??1时，f(x)在R内单调递增，没有极值；

当a??1时，f(x)在区间(??,ln(1?a))内单调递减，在区间(ln(1?a),??)内单调递增，f(x)的极小值为a?1?b?(1?a)ln(a?1)，无极大值.

（2）由（1），知当a??1时，f(x)在R内单调递增，

当a??1时，

b(a?1)2?0?34成立. 当a??1时，令c为?1和1?b1?a中较小的数，

所以c??1，且c?1?b1?a.

则ex?e?1，?(1?a)c??(?b?1).

所以f(c)?ex?(1?a)c?b?e?1?(1?b)?b?0， 与f(x)?0恒成立矛盾，应舍去.

当a??1时，f(x)min?f(ln(1?a))?a?1?b?(a?1)ln(a?1)?0， 即a?1?(a?1)ln(a?1)?b，

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∴t2?1?3.

又t?0，∴解得0?t?22， ∴实数t的取值范围为(0,22).

????3x,x??1,23.解：（1）依题意，得f(x)???2?x,?1?x?1,

?2??1?3x,x?2,于是得f(x)?3???x??1,?3x?3,

??或???1?x?12,?或??x?12, ??2?x?3,??3x?3,解得?1?x?1.

即不等式f(x)?3的解集为{x|?1?x?1}.

（2）g(x)?f(x)?|x?1|?|2x?1|?|2x?2|?|2x?1?2x?2|?3，当且仅当(2x?1)(2x?2)?0时，取等号， ∴M?[3,??).

原不等式等价于t2?3t?1?3t， t2?3t2?t?3(t?3)(t2?t??1)t.

∵t?M，∴t?3?0，t2?1?0.

∴

(t?3)(t2?1)t?0. ∴t2?1?3t?3t.

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