2018版高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算导学案新必修4

2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.3 平面向量的坐标运算

学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.

知识点一 平面向量的正交分解

思考 如果向量a与b的夹角是90°，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？

答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示

思考1 如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a?

答案 a＝23i＋2j.

思考2 在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量

a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？

答案 对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定.对于向量a，给定a的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关.

→→→→

思考3 设向量BC＝(1，1)，O为坐标原点，若将向量BC平移到OA，则OA的坐标是多少？A点坐标是多少？

→→

答案 向量OA的坐标为OA＝(1，1)，A点坐标为A(1，1). 梳理 (1)平面向量的坐标

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).

②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系

表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位意义不同 置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系

知识点三 平面向量的坐标运算

思考 设i、j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？

答案 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 区别 a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，

λa＝λx1i＋λy1j.

梳理 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

向量加法 数学公式 文字语言表述 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 向量数乘

λa＝(λx1，λy1) →

已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量AB＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.

类型一 平面向量的坐标表示

→

例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA＝

a，AB＝b.

四边形OABC为平行四边形.

→

(1)求向量a，b的坐标； →

(2)求向量BA的坐标； (3)求点B的坐标.

解 (1)作AM⊥x轴于点M， 则OM＝OA·cos 45° ＝4×2

＝22， 2

AM＝OA·sin 45°

＝4×2

＝22. 2

∴A(22，22)，故a＝(22，22). ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°. 又∵OC＝AB＝3，

?333?→→?333?∴C?－，?，∴AB＝OC＝?－，?， ?22??22??333?即b＝?－，?.

?22?

33?→→?3

(2)BA＝－AB＝?，－?.

2??2

333→→→

(3)OB＝OA＋AB＝(22，22)＋(－，) 22333??

＝?22－，22＋?.

22??

反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.

跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第