2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第三章 高考专题突破一 第2课时 导数与方程 (含解析)

1?13又h?＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2. ?e?ee1?2且h(e)－h?＝4－2e＋<0. ?e?e1?所以在??e，e?上，h(x)min＝h(1)＝4， 1?1h(x)max＝h??e?＝e＋3e－2，

1?3

，e上有两个不等实根，则4

4，e＋2＋?. 所以实数a的取值范围为?e??

思维升华 方程根或函数零点的个数可转化为函数图象的交点个数，确定参数范围时要根据函数的性质画出大致图象，充分利用导数工具和数形结合思想．

13

跟踪训练2 已知函数g(x)＝x2－x＋ln x－b在[1,4]上有两个不同的零点，求实数b的取值范

42围．

13

解 g(x)＝x2－x＋ln x－b(x>0)，

42?x－2??x－1?

则g′(x)＝.

2x

在[1,4]上，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下：

x g′(x) g(x)

g(x)极小值＝g(2)＝ln 2－b－2， 5

又g(4)＝2ln 2－b－2，g(1)＝－－b.

4

若方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， g?1?≥0，??5则?g?2?<0，解得ln 2－2

4

??g?4?≥0，5

ln 2－2，－?. 故实数b的取值范围是?4??

(1,2) － ↗ 2 0 极小值 (2,4) ＋ ↘

破解含双参问题关键：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧妙构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值．

例1 (2020·蓉城名校联考)已知函数h(x)＝xex，如果x1≠x2且h(x1)＝h(x2)，证明：x1＋x2>2. 证明 h′(x)＝ex(1－x)， 令h′(x)＝0，解得x＝1，

当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表．

x h′(x) h(x)

由x1≠x2，不妨设x1>x2，根据h(x1)＝h(x2)结合图象(图略)可知x1>1，x2<1. 令F (x)＝h(x)－h(2－x)，x∈[1，＋∞)， 则F′(x)＝(x－1)(e2x2－1)ex， ∵x≥1,2x－2≥0，∴e2x2－1≥0，

∴F′(x)≥0，∴F (x)在[1，＋∞)上单调递增， 又∵F (1)＝0，∴x>1时，F (x)>F (1)＝0， 即当x>1时，h(x)>h(2－x)，则h(x1)>h(2－x1)， 又h(x1)＝h(x2)，∴h(x2)>h(2－x1)，

∵x1>1，∴2－x1<1，∴x2,2－x1∈(－∞，1)，

－－

－

－

－

(－∞，1) ＋ 1 0 1 e(1，＋∞) － ↘ ↗ ∵h(x)在(－∞，1)上是增函数， ∴x2>2－x1，∴x1＋x2>2得证．

1

例2 已知f (x)＝xln x－mx2－x，m∈R.若f (x)有两个极值点x1，x2，且x1e2(e

2为自然对数的底数)．

证明 欲证x1x2>e2，需证ln x1＋ln x2>2，

由函数f (x)有两个极值点x1，x2，可得函数f′(x)有两个零点， 又f′(x)＝ln x－mx，

所以x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不同实根．

??ln x1－mx1＝0， ①于是有?

?ln x－mx＝0， ②?22

ln x1＋ln x2

①＋②可得ln x1＋ln x2＝m(x1＋x2)，即m＝，

x1＋x2②－①可得ln x2－ln x1＝m(x2－x1)， ln x2－ln x1

即m＝，

x2－x1

ln x2－ln x1ln x1＋ln x2

从而可得＝，

x2－x1x1＋x2?ln x2－ln x1??x2＋x1?

于是ln x1＋ln x2＝

x2－x1

＝

?1＋x2?ln x2?x1?x1

x2

－1x1

. x2

又01.

x1?1＋t?ln t

因此ln x1＋ln x2＝，t>1.

t－1

?t＋1?ln t

要证ln x1＋ln x2>2，即证>2(t>1)，

t－12?t－1?

即证当t>1时，有ln t>，

t＋12?t－1?

令h(t)＝ln t－(t>1)，

t＋1

12?t＋1?－2?t－1??t－1?2

则h′(t)＝－＝>0，

t?t＋1?2t?t＋1?2所以h(t)为(1，＋∞)上的增函数， 2?1－1?

因此h(t)>ln 1－＝0.

1＋1

2?t－1?

于是当t>1时，有ln t>.

t＋1所以有ln x1＋ln x2>2成立，即x1x2>e2.

1．已知函数f (x)＝a＋xln x(a∈R)． (1)求f (x)的单调区间； (2)判断f (x)的零点个数．

解 (1)函数f (x)的定义域是(0，＋∞)， x?ln x＋2?1

f′(x)＝(x)′ln x＋x·＝，

x2x

令f′(x)>0，解得x>e2，令f′(x)<0，解得0

(2)由(1)得f (x)min＝f (e2)＝a－，

e

－

－

－

－