平面向量的数量积（二轮专题）

平面向量的数量积

【考点要求】

1、理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2、了解平面向量的数量积与向量投影的关系

3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4、能用数量积表示两个向量的夹角

5、会用向量方法解决某些简单的平面几何问题

【考点分析】

从04年至11年每年一个小题，从11年开始每年两个小题，主要考查两方面，一是数量积、模和夹角的运算与求解，二是基本关系的判断.

【知识要点】

1、数量积的计算方法：

→→→→

①定义法a·b＝︱a︱︱b︱cosθ；

→→→

②模与投影之积（其中︱b︱cosθ是a在b方向上的投影）； →→1→→2→→2 ③极化恒等式a·b＝ [（a＋b）－（a－b）]；

4

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的

1. 4→→

④坐标法：a·b＝x1y1＋x2y2 2、几个公式 →

（1）模︱a︱＝

→2a

→→a·b

夹角cosθ＝

→→︱a︱︱b︱

→→→→→→

（2）a·b＝0?θ＝90o；a·b＞0?θ为锐角；a·b＜0?θ为钝角

一、平面向量数量积的运算

例1、（2012理第15题）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB?AC＝______．

解：

→→法一：AB·AC＝c·b·cos∠BAC a2＝b2＋c2－2bc cos∠BAC ①

→→→→

2AM＝AB＋AC?4︱AM︱2＝b2＋c2＋2bc cos∠BAC ② →→

联立①②的AB·AC＝－16

法二：建立坐标系，以M为坐标原点，AM为x轴，B、C关于原点对称 则A（－3，0），B（a，b），C（－a，－b），a＋b＝25， →→22AB·AC＝（a＋3，b）·（－a＋3，b）＝－a＋9＋b＝－16 法三：因为M是BC的中点，由极化恒等式得：

2

2

A

B M C

AB?AC?AM

练习：

2?121BC=9-?100= -16 44（1）（2013理第7题）设?ABC,P满足P0B?0是边AB上一定点，任一点P，恒有PB?PC?P0B?P0C，则（D ）

00A. ?ABC?90 B. ?BAC?90

1AB，且对于边AB上4C. AB?AC D.AC?BC

（2）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA?PB的取值范围是________.【答案】[－2，6]

二、与向量的模相关的问题

→→→→→→

例2、已知AB⊥AC，︱AB－AC︱＝2，点M在线段BC，AM（·AB→→

＋AC）＝1，则︱AM︱的取值范围为 。 解：

→→→→→→

法一：AM·（AB＋AC）＝︱AM︱·︱AB＋AC︱·cosθ 1→

?︱AM︱＝

2cosθ

法二：坐标法，以A为坐标原点，设B（a，0），C（0，b），则a2＋b2＝4 →→→AM·（AB＋AC）＝1? （1－λ）a2＋λb2＝1 →→

BM＝λBC?M（a－λa，λb）

11→

?︱AM︱＝（a－λa ）2＋（λb ）2 ＝4λ2－4λ＋1 （ ＜λ≤1或0＜λ≤

241→

? ＜︱AM︱≤1 2

→→

法三：数形结合，考查AM在AO上的投影。

变式：已知a,b是单位向量，ab?0.若向量c满足c?a?b?1,则c的取值范围是（ A ）

BNOMCA,2+1? B．?2-1，,2+2? A．?2-1，????,2+1? D．?1，,2+2? C．?1，????

归纳：

→→

①|a|2=a2；②数形结合（看投影、三角形，点共线，点共圆）；③坐标法 →→→→→→

④︱︱a︱－︱b︱︱≤︱a±b︱≤︱a︱＋︱b︱．

三、与向量的夹角相关的问题

例3、（1）若非零向量a,b满足a?3b?a?2b，则a,b夹角的余弦值为_______. （2）已知向量a，b满足：|a|?|b|?1，且|ka?b|?3|a?kb|(k?0)．则向量a与向量b的夹角的最大值为 。 解析：

（1）法一：a?3b?a?2b＝3t（t＞0）

1→→→2→2→→

︱a＋2b︱2＝a＋4b＋4a·b＝13 t2＋12 t2·cosθ＝9 t2? cosθ＝－

3→→

法二：以a与2b为边构造平行四边形，计算等腰三角形顶角即可

DC3t2tA3tBk11π

（2）|ka?b|?3|a?kb|? cosθ＝ ＋ ≥ ?θ的最大值为

44k23归纳：

（1）依条件等式，运算求夹角，此类问题求解过程中应关注夹角取值范围；

（2）依已知图形求两向量夹角，此类题求解过程应抓住“两向量共起点”，便可避开陷阱，顺利求解．

（3）在定量求解中需关注等式的方程功能，在基本量的取值范围求解中需关注函数值域或不等关系的建立。