专题12 数列-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(含解析)

从而b1?b3?b5?L?b2n?1?1?3?3?L?32n?13n?1?．

2【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；②裂项相消法求和，一般适用于cn?c，cn?anan?1cn?1?n等的

形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列?等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和．

29．【2017年高考山东卷文数】已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1?a2?6,a1a2?a3． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和Sn，已知S2n?1?bnbn?1，求数列{和Tn．

【答案】（1）an?2n；（2）Tn?5?【解析】（1）设{an}的公比为q， 由题意知a1(1?q)?6,a12q?a1q2．

又an?0，解得a1?2,q?2，所以an?2n． （2）由题意知：S2n?1?bn}的前n项an2n?5 n2(2n?1)(b1?b2n?1)?(2n?1)bn?1，

2又S2n?1?bnbn?1,bn?1?0,所以bn?2n?1， 令cn?bn2n?1,则cn?， an2n3572n?12n?1

,因此Tn?c1?c2?L?cn??2?3?L?n?1?22222n又Tn?123572n?12n?1???L??n?1， 2223242n21231112n?1?(?2?L?n?1)?n?1， 22222两式相减得Tn?所以Tn?5?2n?5． 2n

【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

*30．【2017年高考天津卷文数】已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n?N)，{bn}是首项为2

的等比数列，且公比大于0，

b2?b3?12,b3?a4?2a1,S11?11b4．

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

*（2）求数列{a2nbn}的前n项和(n?N)．

nn?2【答案】（1）an?3n?2，bn?2；（2）(3n?4)2?16．

【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．

2由已知b2?b3?12，得b1(q?q)?12，

2而b1?2，所以q?q?6?0．

n又因为q?0，解得q?2，所以bn?2．

由b3?a4?2a1，可得3d?a1?8①； 由S11?11b4，可得a1?5d?16②，

联立①②，解得a1?1,d?3，由此可得an?3n?2．

n所以，{an}的通项公式为an?3n?2，{bn}的通项公式为bn?2．

（2）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n?6n?2，有

Tn?4?2?10?22?16?23?L?(6n?2)?2n，

2Tn?4?22?10?23?16?24?L?(6n?8)?2n?(6n?2)?2n?1，

上

述

2两

3式

n相

n?1减，得

?Tn?4?2?6?2?6?2?L?6?2?(6n?2)?212?(1?2n)??4?(6n?

1?22)?2n?1??(3n?4)2n?2?16，得Tn?(3n?4)2n?2?16．

所以，数列{a2nbn}的前n项和为(3n?4)2n?2?16．

【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和

的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．

31．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k，若数列{an}满足：

an?k?an?k?1?L?an?1?an?1?L?an?k?1?an?k?2kan对任意正整数n(n?k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．

（1）证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；

（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）因为{an}是等差数列，设其公差为d， 则an?a1?(n?1)d，

从而，当n?4时，an?k?an?k?a1?(n?k?1)d?a1?(n?k?1)d

?2a1?2(n?1)d?2an，k?1,2,3,

所以an?3?an?2+an?1+an?1?an?2+an?3?6an， 因此等差数列{an}是“P(3)数列”．

（2）数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”， 因此，当n?3时，an?2?an?1?an?1?an?2?4an，① 当n?4时，an?3?an?2?an?1?an?1?an?2?an?3?6an．② 由①知，an?3?an?2?4an?1?(an?an?1)，③

an?2?an?3?4an?1?(an?1?an)，④

将③④代入②，得an?1?an?1?2an，其中n?4， 所以a3,a4,a5,L是等差数列，设其公差为d'．

在①中，取n?4，则a2?a3?a5?a6?4a4，所以a2?a3?d'， 在①中，取n?3，则a1?a2?a4?a5?4a3，所以a1?a3?2d'， 所以数列{an}是等差数列．

【名师点睛】（1）利用等差数列性质得an?k?an?k?2an，即得an?3?an?2+an?1+an?1?an?2?an?3?6an，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得an?2?an?1?an?1?an?2?4an，an?3?an?2?an?1?an?1?an?2?an?3?6an，再将条件集中消元：an?3?an?2?4an?1?(an?an?1)，an?2?an?3?4an?1?(an?1?an)，即得an?1?an?1?2an，最后验证起始项也满

足即可．

32．【2017年高考浙江卷】已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（n?N）．

证明：当n?N时， （1）0＜xn+1＜xn；

??xnxn?1； 211（3）n?1≤xn≤n?2．

22（2）2xn+1? xn≤

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：xn?0． 当n=1时，x1=1>0． 假设n=k时，xk>0，

那么n=k+1时，若xk?1?0，则0?xk?xk?1?ln(1?xk?1)?0，矛盾，故xk?1?0．

?因此xn?0(n?N)．

所以

xn?xn?1?ln(1?xn?1)?xn?1，

?因此0?xn?1?xn(n?N)．

（2）由xn?xn?1?ln(1?xn?1)得，

2xnxn?1?4xn?1?2xn?xn?1?2xn?1?(xn?1?2)ln(1?xn?1)．

记函数f(x)?x?2x?(x?2)ln(1?x)(x?0)，

22x2?xf'(x)??ln(1?x)?0(x?0)，

x?1函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以f(x)?f(0)=0，因此