专题12 数列-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(含解析)

（2）若a1?b1?0,m?N*,q?(1,m2]，证明：存在d?R，使得|an?bn|?b1对n?2,3,L,m?1均成立，并求d的取值范围（用b1,m,q表示）． 75【答案】（1）[,]；（2）见解析.

32

【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．

n?1（1）由条件知：an?(n?1)d,bn?2．

因为|an?bn|?b1对n=1，2，3，4均成立， 即|(n? 1)d?2n?1|?1对n=1，2，3，4均成立，

75?d?． 32即1?1，1?d?3，3?2d?5，7?3d?9，得75

因此，d的取值范围为[,]．

32

n?1（2）由条件知：an?b1?(n?1)d,bn?b1q．

若存在d，使得|an?bn|?b1（n=2，3，···，m+1）成立，

|b1?(n?1)d?b1q即 n?1|?b1(n?2,3,L,m?1)，

qn?1?2qn?1b1?d?b1． 即当n?2,3,L,m?1时，d满足

n?1n?1因为q?(1,m2]，则1?qn?1?qm?2，

qn?1?2qn?1b1?0，b1?0，对n?2,3,L,m?1均成立． 从而

n?1n?1因此，取d=0时，|an?bn|?b1对n?2,3,L,m?1均成立．

qn?1?2qn?1}的最大值和数列{}的最小值（n?2,3,L,m?1）下面讨论数列{． n?1n?1 qn?2qn?1?2nqn?qn?nqn?1?2n(qn?qn?1)?qn?2???①当2?n?m时，， nn?1n(n?1)n(n?1)nmnn?1n当1?q?2时，有q?q?2，从而n(q?q)?q? 2?0．

1mqn?1?2}单调递增， 因此，当2?n?m?1时，数列{n?1qn?1?2qm?2}的最大值为故数列{． n?1mx②设f(x)?2(1?x)，

x当x>0时，f?(x)?(ln2?1?xln2)2?0，

所以f(x)单调递减，从而f(x)

qn1q(n?1)11n?2n(1?)?f()?1， 当2?n?m时，n?1?qnnnn?1qn?1}单调递减， 因此，当2?n?m?1时，数列{n?1qn?1qm}的最小值为故数列{． n?1mb1(qm?2)b1qm因此，d的取值范围为[,]．

mm25．【2017年高考全国I卷文数】记Sn为等比数列?an?的前n项和，已知S2=2，S3=?6．

（1）求?an?的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．

n?12n2【答案】（1）an?(?2)；（2）Sn???(?1)?，证明见解析． 33n【解析】（1）设{an}的公比为q．

?a1(1?q)?2,由题设可得?解得q??2，a1??2． 2a(1?q?q)??6.?1故{an}的通项公式为an?(?2)n．

n?1a1(1?qn)2n2???(?1)（2）由（1）可得Sn?． 1?q33n?3n?14?2n?22n2n2?2[??(?1)]?2Sn， 由于Sn?2?Sn?1???(?1)3333故Sn?1，Sn，Sn?2成等差数列．

【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．

（1）由等比数列通项公式解得q??2，a1??2即可求解； （2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．

26．【2017年高考全国II卷文数】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和

为Tn，a1??1,b1?1,a2?b2?2. （1）若a3?b3?5，求{bn}的通项公式； （2）若T3?21，求S3.

【答案】（1）????=2???1；（2）当??=?5时， ??3=21.当??=4时， ??3=?6. 【解析】设{????}的公差为d，{????}的公比为q，则????=?1+（???1）??， ????=?????1. 由??2+??2=2得d+q=3.①

（1）由??3+??3=5得2??+??2=6.② 联立①和②解得{

??=3，??=1，

（舍去），{??=0??=2.

因此{????}的通项公式为????=2???1.

（2）由??1=1，??3=21得??2+???20=0. 解得??=?5，??=4.

当??=?5时，由①得??=8，则??3=21. 当??=4时，由①得??=?1，则??3=?6.

【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两种处理思路：一是利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. （1）根据等差数列及等比数列通项公式表示条件，得关于公差与公比的方程组，解方程组得公比，代入等比数列通项公式即可；

（2）由等比数列前三项的和求公比，分类讨论，求公差，再根据等差数列前三项求和. 27．【2017年高考全国III卷文数】设数列?an?满足a1?3a2?L?(2n?1)an?2n.

（1）求?an?的通项公式； （2）求数列??an?? 的前n项和.

?2n?1?22n；（2）.

2n?12n?1【答案】（1）an?【解析】（1）因为??1+3??2+…+（2n?1）???? =2n，

故当n≥2时，??1+3??2+…+（2???3）?????1 =2（n?1）. 两式相减得（2n?1）????=2， 所以????=2???1 (n≥2). 又由题设可得??1=2，

从而{????}的通项公式为????=2???1. （2）记{

????2??+1

??

2

2

}的前n项和为???? ，

2

1

1

??

由（1）知 2??+1 = (2??+1)(2???1) = 2???1 ?2??+1 .

则 ???? = ? + ? +…+

1

3

3

5

11111

2???1

?

1

2??+1

=

2??

2??+1

.

【思路点拨】（1）先由题意得n?2时，a1?3a2???(2n?3)an?1?2(n?1)，再作差得

an?2，验证n?1时也满足； 2n?1（2）由于

an211???，所以利用裂项相消法求和. 2n?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如??c??(其中?an?是各项均不为零的等差数列，aa?nn?1?c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类是隔一项的裂项求和，如an?11. 或an?(n?1)(n?3)n(n?2)28．a2+a4=10，b2b4=a5． 【2017年高考北京卷文数】已知等差数列?an?和等比数列?bn?满足a1=b1=1，

（1）求?an?的通项公式；

（2）求和：b1?b3?b5?L?b2n?1．

3n?1. 【答案】（1）an=2n?1；（2）2【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d．

因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10，解得d=2，所以an=2n?1． （2）设等比数列{bn}的公比为q．

2n?2?3n?1． 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9，解得q2=3，所以b2n?1?b1q