专题12 数列-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(含解析)

项公式求得数列{????}的通项公式，从而求得最后的结果.

a5?4a3． 19．【2018年高考全国III卷文数】等比数列{an}中，a1?1，（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm?63，求m． 【答案】（1）an?(?2)n?1或an?2n?1；（2）m?6. 【解析】（1）设{an}的公比为q，由题设得an?qn?1． 由已知得q4?4q2，解得q?0（舍去），q??2或q?2． 故an?(?2)n?1或an?2n?1． （2）若an?(?2)n?11?(?2)n，则Sn?．

3由Sm?63得(?2)m??188，此方程没有正整数解． 若an?2n?1，则Sn?2n?1． 由Sm?63得2m?64，解得m?6． 综上，m?6．

【名师点睛】等差、等比数列中的基本量的求解，可利用通项公式及前n项和公式建立a1, d（或q），n, an,Sn五个基本量间的关系式，即“知三求二”.非等差、等比数列的求和常用三种方法：一是分组求和法，特征是原数列可以拆成几个等差或等比数列的和；二是裂项相消求和法，特征是通项是分式形式，如等差数列{an}的的公差是d，则bn?11?11?????；三是错anan?1d?anan?1?位（项）相减求和法，特征是通项可以看成一个等差数列与一个等比数列对应项的积（或商）. 20．【2018年高考全国II卷文数】记Sn为等差数列?an?的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求?an?的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．

【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值为–16． 【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n项和公式得Sn关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.

21．【2018年高考北京卷文数】设?an?是等差数列，且a1?ln2,a2?a3?5ln2. （1）求?an?的通项公式； （2）求e1?e2?L?en.

【答案】（1）an?nln2；（2）2n?1?2. 【解析】（1）设等差数列?an?的公差为d， ∵a2?a3?5ln2， ∴2a1?3d?5ln2， 又a1?ln2， ∴d?ln2.

∴an?a1??n?1?d?nln2. （2）由（1）知an?nln2， ∵ean?enln2?eln2=2n， ∴enaaa??是以2为首项，2为公比的等比数列.

an2n∴ea1?ea2?L?ean?eln2?eln2?L?eln2=2?22?L?2n=2n?1?2. ∴ea1?ea2?L?ean=2n?1?2.

【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和共涉及五个基本量a1,an,d,n,Sn，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.（1）设公差为d，根据题意可列关于a1,d的方程组，求解a1,d，代入通项公式可得；（2）由（1）可得ean?2n，进而可利用等比数列

求和公式进行求解.

22．【2018年高考天津卷文数】设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，

公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （1）求Sn和Tn；

（2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． 【答案】（1）Sn?n(n?1)n，Tn?2?1；（2）4. 22【解析】（1）设等比数列{bn}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q?q?2?0． 因为q?0，可得q?2，故bn?2n?1．

1?2n?2n?1． 所以，Tn?1?2设等差数列{an}的公差为d．由b4?a3?a5，可得a1?3d?4．由b5?a4?2a6，可得

3a1?13d?16,从而a1?1,d?1，故an?n，

所以，Sn?n(n?1)． 213n2?(1?2n)?n?2n?1?n?2. （2）由（1），有T1?T2?L?Tn?(2?2?L?2)?n=1?2由Sn?(T1?T2?L?Tn)?an?4bn可得

2n(n?1)?2n?1?n?2?n?2n?1， 2整理得n?3n?4?0,解得n??1（舍），或n?4． 所以n的值为4．

【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力．

23．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差

中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n2+n． （1）求q的值；

（2）求数列{bn}的通项公式．

【答案】（1）q?2；（2）bn?15?(4n?3)?()12n?2.

【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.

（1）由a4?2是a3,a5的等差中项得a3?a5?2a4?4，

所以a3?a4?a5?3a4?4?28， 解得a4?8.

由a3?a5?20得8(q?)?20， 因为q?1，所以q?2.

（2）设cn?(bn?1?bn)an，数列{cn}前n项和为Sn.

1q?S1,n?1,由cn??解得cn?4n?1.

S?S,n?2.n?1?nn?1由（1）可知an?2，

所以bn?1?bn?(4n?1)?()故bn?bn?1?(4n?5)?()12n?1，

12n?2,n?2，

bn?b1?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)?L?(b3?b2)?(b2?b1)

111?(4n?5)?()n?2?(4n?9)?()n?3?L?7??3.

2221121n?2设Tn?3?7??11?()?L?(4n?5)?(),n?2，

22211111Tn?3??7?()2?L?(4n?9)?()n?2?(4n?5)?()n?1 2222211121n?21n?1所以Tn?3?4??4?()?L?4?()?(4n?5)?()，

222221n?2因此Tn?14?(4n?3)?(),n?2，

21n?2又b1?1，所以bn?15?(4n?3)?().

2【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“????”与“??????”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“???????????”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

24．【2018年高考江苏卷】设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q

的等比数列．

（1）设a1?0,b1?1,q?2，若|an?bn|?b1对n?1,2,3,4均成立，求d的取值范围；