2019届云南师大附中高三高考适应性月考数学（文）试题Word版含解析

某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对），进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2x2列联表：

1，通9

（I）完成列联表，并判断能否有99.9%的把握认为态度与性别有关？

（Ⅱ）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率.

【答案】（1）没有99.9%的把握认为态度与性别有关；（2）P?【解析】

试题分析：本题主要考查线性相关、概率、分层抽样等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用每人被抽到的概率均为

1

. 2

1，计算出男女总人数150人，再利用男女生 9比例为8:7，计算出男女生人数，从而列联表就填全了，再根据列联表，利用k2的公式计算，与10.828比较大小，得出结论；第二问，将6名男生和4名女生用字母表示出来，写出选取2人的所有情况，在其中选出符合题意的情况，最后计算出概率. 试题解析：（Ⅰ）列联表如下：

男生 女生 总计 2支持 30 45 75 反对 50 25 75 总计 80 70 150 150(30?25?50?45)2计算得K??10.714?10.828，

80?70?75?75所以没有99.9%的把握认为态度与性别有关． ………………………………（6分）

a3，a4，a5，a6，其中A1，A2为支持，a3，a4，a5，a6为反对，记4名女生为（Ⅱ）记6名男生为A1，A2，B1，B2，b3，b4，其中B1，B2为支持，b3，b4为反对，随机抽取一男一女所有可能的情况有24种，分别为 (A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b3)，(A1，b4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b3)，(A2，b4)，(a3，B1)， (a3，B2),(a3，b3)，(a3，b4)，(a4，B1)，(a4，B2)，(a4，b3)，(a4，b4)，(a5，B1)，(a5，B2)， (a5，b3)，(a5，b4)，(a6，B1)，(a6，B2)，(a6，b3)，(a6，b4)，

其中恰有一人支持一人反对的可能情况有12种，所以概率为P?考点：线性相关、概率、分层抽样. 19.（本小题满分12分）

1

． 2

………（12分）

如图4，在三棱锥S -ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC＝2，M为AB的中点．

（I）证明：AC⊥SB;

（II）求点B到平面SCM的距离。

【答案】（1）证明详见解析；（2）【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、三角形面积、锥体的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定，得AC?平面SDB，再利用线面垂直的性质，得AC?SB；第二问，根据面面垂直的性质，得SD?平面ABC，作出辅助线，得SE?CM，在直角三角形SDE中，求出SE的值，在正三角形ABC中求出CM的值，从而计算出?SCM和?BMC的面积，用体积转化法，将锥体B-SCM转化为锥体S-BCM的体积，计算出高. 试题解析：（Ⅰ）证明：如图4，取AC的中点D，连接DS，DB． 因为SA?SC，BA?BC，

25. 5且AC?DB，DS所以AC?DS，DB?D，

所以AC?平面SDB，又SB?平面SDB，

所以AC?SB． ………………………………（6分） 平面SAC?平面ABC， （Ⅱ）解：因为SD?AC，所以SD?平面ABC.

如图4，过D作DE?CM于E，连接SE，则SE?CM， 所以在Rt△SDE中，SD?1，DE?∴SE?………………………（8分）

1， 25， CM是边长为2的正△ABC的中线，∴CM?3， 211515∴S△SCM?CMSE??3??，

2224S△BMC?1113ABCM??2?3?． 2242……………………………………（10分）

设点B到平面SCM的距离为h，

11则由VB?SCM?VS?BCM得S△SCM?h?S△BMC?SD，

333SSD25?2?所以h?△BMC．

S△SCM5154……………………………………………（12分）

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、三角形面积、锥体的体积. 20.（本小题满分12分）

x2y22已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为42. ab2（I）求椭圆C的标准方程；

（II)过点A(1，0)的直线与椭圆C交于点M, N,设P为椭圆上一点，且OM?ON?tOP(t?0)O为坐标原

点，当|OM?ON|?45时，求t的取值范围. 3?6???3,1?. ???6?x2y2【答案】（1）?（2）t???1,??1；??342??试题解析：

2b21b212，∴e?1?2?，∴2?，即a2?2b2． （Ⅰ）∵e?2a2a21又S??2a?2b?42，a2?4． ∴ab?22，∴b2?2，2x2y2∴椭圆C的标准方程为??1．

42（Ⅱ）由题意知，当直线MN斜率存在时，

……………………………………………（4分）

设直线方程为y?k(x?1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)， ?x2y2?1，??联立方程?4消去y得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?4?0， 2?y?k(x?1)，?因为直线与椭圆交于两点，

所以??16k4?4(1?2k2)(2k2?4)?24k2?16?0恒成立，

4k22k2?4?2k， ∴x1?x2?，xx?，y?y?k(x?x)?2k?1212121?2k21?2k21?2k2又∵OM?ON?tOP，

?x1?x24k2?，?x??x1?x2?tx，?tt(1?2k2)∴?∴?

y?y?ty，y?y?2k?122?y?1?，2?tt(1?2k)?16k48k2x2y2??4， 因为点P在椭圆??1上，所以2t(1?2k2)2t2(1?2k2)2422k21即2k?t(1?2k)，， ∴t??1?1?2k21?2k22222………………………………（8分）

又∵|OM?ON|?45， 34545，∴1?k2x1?x2?即|NM|?，整理得：1?k2334?6k225?，

1?2k23