高考数学第一轮大复习素材： 4合情推理与演绎推理新人教A文

A组 专项基础训练 (时间：40分钟)

一、选择题

1.(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 A.28 答案 C

解析 观察规律，归纳推理.

从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123. 2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质： (1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于 A.n

B.n＋1

C.n－1

D.n2

( )

B.76

( )

C.123 D.199

答案 A

解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，

得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1). 又∵1*1=1，∴n*1＝n 3.下列推理是归纳推理的是

( )

A.A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y2

C.由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab

ab

2

2

2

2

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B

解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.

4.已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a

解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提.

a1＋a2＋…＋an5.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列.类比这一性质可知，

n若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为 c1＋c2＋…＋cn

A.dn＝ n

c1·c2·…·cn

B.dn＝ nnD.dn＝c1·c2·…·cn

( )

B.小前提

C.结论

( )

D.三段论

nnnc1

＋cn2＋…＋cn

C.dn＝

n

答案 D

解析 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋

n?n－1?

d， 2

?n－1?dd

∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；

222若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝cnq1＋2＋1·

…＋(n－1)

＝cnq1·

n?n－1?

， 2

n－1n

∴dn＝c1·c2·…·cn＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.

2二、填空题

6.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 答案 14

解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，

n?n＋3?

则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，

2易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.

xx

7.若函数f(x)＝(x>0)，且f1(x)＝f(x)＝，当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]，则f3(x)

x＋2x＋2＝________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________. 答案

xx n 7x＋8?2－1?x＋2n

x

解析 ∵f1(x)＝，fn(x)＝f[fn－1(x)](n≥2)，

x＋2xx＋2xx

∴f2(x)＝f()＝＝.

x＋2?x＋2?3x＋4

x＋2x3x＋4xx

f3(x)＝f[f2(x)]＝f()＝＝. 3x＋4?x＋2?7x＋8

3x＋4

由所求等式知，分子都是x，分母中常数项为2n，x的系数比常数项少1，为2n－1， x

故fn(x)＝n.

?2－1?x＋2n

AEAC

8.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到

EBBC空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E，则类比得到的结论是________.

答案

BES△BCD

＝ EAS△ACD

解析 易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等， VE－BCDBES△BCD故＝＝. VE－ACDEAS△ACD三、解答题

9.已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5. (1)求数列{an}的前n项和Sn；

(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律.

解 (1)由于a1＝5，d＝2， n?n－1?

∴Sn＝5n＋×2＝n(n＋4).

2

(2)∵Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n. ∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39， T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.

S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21， S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S1＝T1，当n≥2时，Sn

归纳猜想：当n＝1时，Sn＝Tn；当n≥2，n∈N时，Sn

111

10.在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：2＝2＋2，那么在四面体ABCD中，

ADABAC类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 解 如图所示，由射影定理 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC， 11∴2＝ ADBD·DC

BC2BC2＝＝. BD·BC·DC·BCAB2·AC2