高考数学第一轮大复习素材： 4合情推理与演绎推理新人教A文

归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均为f(x1)＋f(x2)＝证明：设x1＋x2＝1，

∵f(x1)＋f(x2)＝

3

?3

1

3. 3

x1＋3

1

＋3x2

＋33

x1＝＋3?＋?3＋3??3＋3

x2＋3?

x1?3

x1x2＝33

＋3

x2＋23＋3?

x1?x2x1＋3?3

x1＋3

x2 ?＋3

＝

3

x1x2＋233?3

x1＋3

x2＝

＋3

x2＋23＋23?

?＋2×33?3

x1＋3

x2＝3. 3

思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.

(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.

(1)观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

…

照此规律，第五个等式应为________________________.

11157

(2)已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有______.

23n22答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f(2n)>

n＋2

(n≥2，n∈N*) 2

解析 (1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 4567

(2)由题意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，

2222n＋2

所以当n≥2时，有f(2)>. 2

n

n＋2

故填f(2)>(n≥2，n∈N*).

2

n

题型二 类比推理

nb－ma

例2 已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.n－m类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________.

思维启迪 等差数列{an}和等比数列{bn}类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算. n－mdn答案

cm解析 设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q. 因为

an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝nb－ma

， n－m

n－mdn所以类比得bm＋n＝ cm思维升华 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.

(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.

(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.

(1)给出下列三个类比结论：

①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是 A.0

B.1

C.2

D.3

( )

(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形a2＋b2外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长).类比

2此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________. a2＋b2＋c2

答案 (1)B (2)

2解析 (1)①②错误，③正确.

(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 题型三 演绎推理

a

例3 已知函数f(x)＝－x(a>0，且a≠1).

a＋a11

(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；

22(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值.

思维启迪 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y＝f(x)的图象上的任一点关于a11

对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f(x)＝－x(a>0且a≠1)的图象关于点(，－)22a＋a对称.

(1)证明 函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)， 11

它关于点(，－)对称的点的坐标为(1－x，－1－y).

22

aaax

由已知得y＝－x，则－1－y＝－1＋x＝－x，

a＋aa＋aa＋aaaa·axax

f(1－x)＝－1x＝－＝－＝－x， xaa－＋aa＋a·aa＋a＋aax11

∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称.

22(2)解 由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1. 则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.

思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.