课堂新坐标（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.3 两个向量的数量积课后知能检测 新人教B版选修2-1

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.3 两个向

量的数量积课后知能检测 新人教B版选修2-1

一、选择题

1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a·b)c－(c·a)b＝0； ②|a|＝a·a； ③ab＝ba；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|－4|b|. 其中正确的有( ) A．①② C．③④

B．②③ D．②④

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【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a|·b＝|b|·a不一定成立，④运算正确．

【答案】 D

2．(2013·西安高二检测)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，由a与b的夹角〈a，b〉＝( )

A．30° C．60°

B．45° D．以上都不对

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2

【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)＝|a|＋|b|＋2a·b＝|c|，∴a·b3a·b1＝，∴cos〈a，b〉＝＝. 2|a||b|4

【答案】 D

→→→→→→

3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是( )

A．钝角三角形 C．直角三角形 【解析】

B．锐角三角形 D．不确定

1

→→→

如图所示，设AB＝a，AC＝b，AD＝c， →→

∵CB·CD＝(a－b)·(c－b) ＝a·c－b·c－a·b＋b ＝b>0.

→→→→同理BC·BD>0，DB·DC>0.

∴∠CBD，∠BCD，∠BDC均为锐角． 【答案】 B

4．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是( ) A．2 C.5

B.3 D.7

2

2

→→→→→→→→→→【解析】 如图，EF＝EA＋AA1＋A1F，且|EA|＝|A1F|＝1，|AA1|＝2，EA·AA1＝0，AA1·A1F→→→2→2→→→2→2→2→2→→＝0，〈EA，A1F〉＝120°，∴EF＝|EF|＝(EA＋AA1＋A1F)＝|EA|＋|AA1|＋|A1F|＋2(EA·AA1→→→2

＋AA1·A1F＋EA·A1F)＝1＋4＋1－1＝5，∴|EF|＝5，即EF的长为5.

【答案】 C

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：

→→2→2→→→→→

①(AA1＋AD＋AB)＝3AB；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°；④正方体→→→

的体积为|AB·AA1·AD|.

其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3

2

→→

→

B．2 D．4

【解析】 如图所示，

→→2→→→2→2→2→→→→→→(AA1＋AD＋AB)＝(AA1＋A1D1＋D1C1)＝AC1＝3AB；A1C·(A1B1－A1A)＝A1C·AB1＝0；AD1与→

A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角，而D1C与D1A的夹角为60°，故AD1与A1B的夹角为120°；正

→→→

方体的体积为|AB||AA1||AD|.综上可知，①②正确，故选B.

【答案】 B 二、填空题

→→→→→→

6．已知空间四边形ABCD，则AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝________. →→→→→→

【解析】 AB·CD＋BC·AD＋CA·BD

→→→→→→→→→

＝AB·(AD－AC)＋(AC－AB)·AD＋(－AC)·(AD－AB)＝0. 【答案】 0

7．(2013·吉林高二检测)已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________. 【解析】 |2a－3b|＝(2a－3b)＝4a－12a·b＋9b ＝4×|a|＋9×|b|－12×|a|·|b|·cos 60°＝61， ∴|2a－3b|＝61. 【答案】

61

2

22

2

2

2

→→→→→→→

8．(2013·蒙阴高二期末)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．

??a＋λb【解析】 由题意知?

??cos〈a＋λ??

即???

λa－2bb，λa－2b〉≠－1.

a＋λba＋λbλa－2bλa－2b－|a＋λb||λa－2b|

?λ＋2λ－2<0.

2

∴－1－3<λ<－1＋3. 【答案】 (－1－3，－1＋3) 三、解答题

3

图3－1－26

9．在空间四边形OABC中(如图3－1－26)，OA⊥BC，OB⊥AC.求证：OC⊥AB. →→→→

【证明】 由已知得OA⊥BC，OB⊥AC， →→

∴OA·BC＝0， →→→

→

OB·AC＝0， →→

OA·(OC－OB)＝0， →→

OB·(OC－OA)＝0.

→→→→→→→→∴OA·OC＝OA·OB，OB·OC＝OB·OA，

→→→→→→→→→

∴OA·OC－OB·OC＝0，(OA－OB)·OC＝0，BA·OC＝0. ∴OC⊥AB.

10．如图3－1－27所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E1，F1分别在A1B1，C1D1上，且

E1B1＝A1B1，D1F1＝D1C1，求BE1与DF1所成角的余弦值．

1414

图3－1－27

【解】 设DD1＝4a，D1F1＝b， 则|a|＝|b|，且a⊥b，

由题意知|DF1|＝|BE1|＝(4a)＋b＝17a，

→

2

→→

→

2222

DF1·BE1＝(4a＋b)·(4a－b)＝15a2，

∴cos〈BE1，DF1〉＝

→

→

15＝.

→→17|BE1||DF1|

4

→→

BE1·DF1

→→

15

∴BE1与DF1所成角的余弦值为. 17

11．如图3－1－28所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．

图3－1－28

【解】 ∵∠ACD＝90°，∴→AC·→

CD＝0. 同理→AC·→

BA＝0.∵AB与CD成60°角， ∴〈→BA，→

CD〉＝60°或120°. 又∵→BD＝→BA＋→AC＋→CD，

∴|→BD|2＝→BD·→BD＝|→BA|2＋|→AC|2＋|→CD|2＋2→BA·→AC＋2→BA·→CD＋2→AC·→CD ＝3＋2×1×1×cos〈→BA，→

CD〉

〈→BA，→

＝??CD〉＝，

?

〈→BA，→CD〉＝

∴|→

BD|＝2或2，即B，D间的距离为2或2.

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