2015年湖北卷数学试题及答案（文）

2015年普通高等学校招生统一考试（湖北卷）

文科数学

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. i为虚数单位，i607?

A．?i B．i C．?1 D．1

2. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得

米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 3. 命题“?x0?(0,??)，lnx0?x0?1”的否定是

A．?x0?(0,??)，lnx0?x0?1 C．?x?(0,??)，lnx?x?1

B．?x0?(0,??)，lnx0?x0?1 D．?x?(0,??)，lnx?x?1

4. 已知变量x和y满足关系y??0.1x?1，变量y与z正相关. 下列结论中正确的是 A．x与y负相关，x与z负相关 C．x与y正相关，x与z负相关

B．x与y正相关，x与z正相关 D．x与y负相关，x与z正相关

5. l1,l2表示空间中的两条直线，若p：l1,l2是异面直线；q：l1,l2不相交，则 A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

x2?5x?66. 函数f(x)?4?|x|?lg的定义域为

x?3A．(2,3) C．(2,3)(3,4]

B．(2,4] D．(?1,3)x?0,x?0, 则 x?0.(3,6]

?1,?7. 设x?R，定义符号函数sgnx??0,??1,?A．|x|?x|sgnx| C．|x|?|x|sgnx

B．|x|?xsgn|x| D．|x|?xsgnx

8. 在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“x?y?概率，则 A．p1?p2?C．p2?11”的概率，p2为事件“xy?” 的221 2

B．p1?D．

1?p2 21?p1 21?p2?p1 29. 将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a?b)同时增加m(m?0)个单位长度，得

到离心率为e2的双曲线C2，则 A．对任意的a,b，e1?e2 C．对任意的a,b，e1?e2

B．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2 D．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2

10. 已知集合A?{(x,y)x2?y2?1,x,y?Z}，B?{(x,y)|x|?2,|y|?2,x,y?Z}，定义集合

A?B?{(1x?2x,1y?2y)(1x,1y?)A,(2x,2y?，则)BA}?B中元素的个数为

A．77

B．49 C．45 D．30

第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）

二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）

11. 已知向量OA?AB，|OA|?3，则OA?OB?_________．

?x?y?4,?12. 若变量x,y满足约束条件?x?y?2, 则3x?y的最大值是_________．

?3x?y?0,?π13. 函数f(x)?2sinxsin(x?)?x2的零点个数为_________.

214. 某电子商务公司对10000名网络购物者

2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a?_________； （Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间

内的购物者的人数为_________. [0.5,0.9]

15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处

时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD?_________m.

16. 如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，

B（B在A的上方），且AB?2. （Ⅰ）圆C的标准方程为_________； ．．

（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_________.

17. a为实数，函数f(x)?|x2?ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a). 当

a?_________时，g(a)的值最小.

三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

18.（本小题满分12分）

π某同学用“五点法”画函数f(x)?Asin(?x??)(??0,|?|?)在某一个周期内的图象时，列表

2并填入了部分数据，如下表：

?x?? x 0 0 π 2π 3π 22π 0 π 35 5π 6Asin(?x??) ?5 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式； ．．．．．．．．．．． （Ⅱ）将y?f(x)图象上所有点向左平行移动图象离原点O最近的对称中心. 19.（本小题满分12分）

设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已知b1?a1，b2?2，q?d，S10?100．

π个单位长度，得到y?g(x)图象，求y?g(x)的6

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）当d?1时，记cn?20.（本小题满分13分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P?ABCD中，侧棱PD?底面ABCD，且PD?CD，点E是PC的中点，连接DE,BD,BE.

an，求数列{cn}的前n项和Tn． bn

（Ⅰ）证明：DE?平面PBC. 试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（Ⅱ）记阳马P?ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求21.（本小题满分14分）

设函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)?g(x)?ex，其中e为自然对数的底数.

（Ⅰ）求f(x)，g(x)的解析式，并证明：当x?0时，f(x)?0，g(x)?1； （Ⅱ）设a?0，b?1，证明：当x?0时，ag(x)?(1?a)?22.（本小题满分14分）

一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN?ON?1，MN?3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线l与两定直线l1:x?2y?0和l2:x?2y?0分别交于P,Q两点．若直线l总与椭圆

试探究：?OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；C有且只有一个公共点，

V1的值． V2f(x)?bg(x)?(1?b). x