2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质(一)作业2 北师大版选修1-1

12|TA|

得：A(1，2)，B(，－)，所以＝

42|TB|

122

（1＋）＋（2）

2

11222（＋）＋（）422

＝2.

答案：2

5．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；

(2)当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．

2

解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y＝2px(p>0)．

2

因为点P(1，2)在抛物线上，所以2＝2p×1，解得p＝2.

2

所以所求抛物线的方程是y＝4x，准线方程是x＝－1.

y1－2y2－2

(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA＝，kPB＝，

x1－1x2－1

因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在

2??y1＝4x1，①

抛物线上，得?2

?y＝4x，②2?2

y1－2y2－2所以＝－，所以y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4.

1212y1－1y2－144

由①－②得直线AB的斜率为－1. 6．(选做题)已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上．若点A(－1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．

解：依题设抛物线C的方程可写为y＝2px(p>0)，

且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点，因而可设l的方程为y＝kx(k≠0)，①

1

设A′，B′分别是A，B关于l的对称点，因而A′A⊥l，直线A′A的方程为y＝－(x2

k＋1)，②

由①②联立解得AA′与l的交点M的坐标为?－

?21，－2k?.

k＋1??k＋1?

又M为AA′的中点，

从而点A′的横坐标为xA′＝

1?k2－1?2?－2?＋1＝2，

k＋1?k＋1?

2k?－k?纵坐标为yA′＝2?2?＋0＝－2.③ k＋1?k＋1?

2

16k8（k－1）

同理得点B′的横、纵坐标分别为xB′＝2，yB′＝.④

k＋1k2＋1

2

又A′，B′均在抛物线y＝2px(p>0)上，

2k?2k2－1?由③得?－2?＝2p·2，

k＋1?k＋1?

5

2

由此知k≠±1，即p＝2kk4－1

.⑤

同理由④得

?2?8（k－1）??216k2（k2－1）2k2＋1??

＝2p·k2＋1即p＝（k2＋1）k. 从而2k22（k2－1）2k4－1＝（k2＋1）k，

整理得k2

－k－1＝0，

解得k1＋51－5

1＝2，k2＝2.

但当k＝1－52时，由③知x5

A′＝－5

<0，

这与点A′在抛物线y2

＝2px(p>0)上矛盾，故舍去k1－5

2＝2

. 所以k＝1＋51＋2，则直线l的方程为y＝5

2x.

将k＝1＋525

2代入⑤，求得p＝5. 所以直线方程为y＝1＋5

2x.

抛物线方程为y2

＝455

x.

6