第8课二次函数的实际应用（利润最值问题）（教师）1

第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题

知识要点：

b24ac?b2)?二次函数的一般式y?ax?bx?c(a?0)化成顶点式y?a(x?，如果自变量的取2a4a2值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．

4ac?b2b即当a?0时，函数有最小值，并且当x??，y最小值?；

2a4a4ac?b2b当a?0时，函数有最大值，并且当x??，y最大值?．

2a4a如果自变量的取值范围是x1?x?x2，如果顶点在自变量的取值范围x1?x?x2内，则当x??b，2a4ac?b2y最值?，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范

4a围内y随x的增大而增大，则当x?x2时，

2y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c；

2如果在此范围内y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，2y最小?ax2?bx2?c．

[例1]：求下列二次函数的最值：

（1）求函数y?x2?2x?3的最值． 解：y?(x?1)2?4

当x??1时，y有最小值?4，无最大值．

2 （2）求函数y?x?2x?3的最值．(0?x?3)

解：y?(x?1)?4

∵0?x?3，对称轴为x??1

∴当x?0时y有最小值?3；当x?3时y有最大值12．

[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 解：设涨价（或降价）为每件x元，利润为y元，

2y1为涨价时的利润，y2为降价时的利润 则：y1?(60?40?x)(300?10x)

??10(x?10x?600) ??10(x?5)?6250

当x?5，即：定价为65元时，ymax?6250（元）

22y2?(60?40?x)(300?20x) ??20(x?20)(x?15)

??20(x?2.5)?6125

当x?2.5，即：定价为57.5元时，ymax?6125（元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．

[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高

21

月 日

售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x元，利润为y元， 则：y?(30?x?20)(400?20x) ??20(x?10)(x?20) ??20(x?5)2?4500 当x?5，ymax?4500（元）

答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

解：设旅行团有x人(x?30)，营业额为y元， 则：y?x[800?10(x?30)] ??10x(x?110) ??10(x?55)2?30250 当x?55，ymax?30250（元）

答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．

[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

若日销售量y是销售价x的一次函数．

⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；

x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 解：⑴设一次函数表达式为y?kx?b．

?k??1?15k?b?25, 解得?，?

?2k?b?20?b?40即一次函数表达式为y??x?40．

⑵ 设每件产品的销售价应定为x元， 所获销售利润为w元

w?(x?10)y?(x?10)(?x?40)

2 ??x?50x?400

2 ??(x?25)?225

当x?25，ymax?225（元）

则?答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：

⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30?元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)?与销售单价x(元) (x?30）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y与x的函数关系式；

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

2

⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(?直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b由图象可知，

?30k?b?400,??40k?b?200?k??20， 解之得:??b?1000即一次函数表达式为y??20x?1000(30?x?50)． ⑵ P?(x?20)y?(x?20)(?20x?1000) ??20x?1400x?20000

∵a??20?0 ∴P有最大值．

21400?35时，Pmax?4500（元）

2?(?20)（或通过配方，P??20(x?35)2?4500，也可求得最大值）

当x?答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．

⑶∵4180??20(x?35)2?4500?4480 1?(x?35)2?16 ∴31≤x?≤34或36≤x≤39．

作业布置： 1．二次函数y?123x?x?1，当x=_-1，_时，y有最_小_值，这个值是?． 2222．某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为y??x?1(只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．

3．不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是m?此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”) 解：y?2(x?)?m?9，23229 299?0∴m?

22124．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y??x?3.5的一部

5∵2(x?)?0，要使y?0，只有m?322分，如图

所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是 4.5米 ．

12x?3.5?3.05 52 x?5?0.45，x?1.5或x??1.5（不合题意，舍去）

解：当y?3.05时，y??5．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，?在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-

12

gt（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，23

月 日

则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m． 解：s??5t?10t??5(t?1)2?5

当t?1时，smax?5，所以，最高点距离地面5?2?7(米)．

6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=确定；雨天行驶时，这一公式为S=

212

V 10012

V．如果车行驶的速度是60km/h，?那么在雨天 50行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．

7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．

解：设每件价格降价x元，利润为y元， 则：y?(100?70?x)(20?x)

2 ??x?10x?600??((x?5)?625

2当x?5，ymax?625（元）

答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

8．如图，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．

y B A Ox 解：设y?a(x?8)2?9，将点A(0,1)代入，得a??

1811y??(x?8)2?9??x2?2x?1

8812令y?0，得y??(x?8)?9?0

8(x?8)2?8?9

x?8?62，C(8?62,0)，∴OC?8?8?62?24.5(米)

9．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，?某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据： 销售价x（元/千克） … 25 销售量y（千克） 24 23 22 … … 2000 2500 3000 3500 … （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？ 解：（1）由图象可知，y是x的一次函数，

设y=kx+b，?

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