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分 (2)当n∈N *时，由已知(以n＋2代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8 于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w_w w. k#s5_u.c o*m 即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得 a?aan＝2n?11-(n－1)2. 2a?a那么an＋1－an＝2n?12n?1－2n＋1w_w w. k#s5_u.c o*m 28n?2 ＝－2n＋1 2 ＝2n －于是cn＝2nqn1. 当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1) 当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1. 两边同乘以q，可得 qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述两式相减得 (1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m 1?qn ＝2·－2nqn 1?q1?(n?1)qn?nqn?1 ＝2· 1?qnqn?1?(n?1)qn?1所以Sn＝2· 2(q?1)?n(n?1)(q?1)?综上所述，Sn＝?nqn?1?(n?1)qn?1…………………………12分 2?(q?1)?(q?1)2?
（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）
在数列?an?中，a1=0，且对任意k?N*，a2k?1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的通项公式；
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32232n22n?2）（Ⅲ）记Tn????. ???，证明?2n?Tn?（2a2a3an【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数
列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（I）证明：由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，
a5?a4?4?12， a6?a5?6?18。 从而a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列。 a5a42（II）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N* 所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4 11?.?..?4?k?? ?2k?k?1?,k?N. *由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k2. ?n2?1n,n为奇数?n2??1??1?2所以数列?an?的通项公式为an??2或写为an??，24?n,n为偶数??2n?N*。 （III）证明：由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k2， 以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?
k2若m?1，则2n???2， k?2akn若m?2，则 mm2k?m?1?2k?1??k24k2m?14k2?4k?1??????2?? ?aaa2k2kk?1??k?2kk?1k?1k?1k?12k2k?1n22状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供
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m?1?4k2?4k?1?1?11??? ?2m?????2m???2????? 2k?k?1??2?kk?1??k?1?2k?k?1?k?1?m?11?1?31 ?2m?2?m??1???1??n2??. 2?m?2nnk2313k2所以2n????，从而?2n???2,n?4,6,8,.... 2n2k?2akk?2akn（2） 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?。
?2m?1?k22mk2?2m?1?31???4m??? ??a2m?122m2m?m?1?k?2akk?2akn221131 ?4m???2n??22?m?1?2n?1nk2313k2所以2n????，从而?2n???2,n?3,5,7,.... a2n?12k?2kk?2akn综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有 （2010天津理数）（22）（本小题满分14分） 3?2n?Tn?2. 2在数列?an?中，a1?0，且对任意k?N*.a2k?1，a2k，a2k?1成等差数列，其公差为dk。 （Ⅰ）若dk=2k，证明a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列（k?N*） （Ⅱ）若对任意k?N*，a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列，其公比为qk。 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。
?a?4k,k?N*。 （Ⅰ）证明：由题设，可得a2k?12k?1?a?(a?a)?(a?a)?...?(a3?a1) 所以a2k?112k?12k?12k?12k?3=4k?4(k?1)?...?4?1 =2k(k+1)
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?2k(k?1),从而a?a?2k?2k2,a?2(k?1)2. 由a1=0，得a2k?12k2k?12k?2aaak?1a2k?2k?12k?12k?2?,?,所以?2k?1。 于是akakaa2k2k?12k?12k,a所以dk?2k时，对任意k?N*,a,a成等比数列。
2k2k?12k?2,a,a,a（Ⅱ）证法一：（i）证明：由a成等差数列，及a,a2k?12k2k?12k2k?12k?2aa2k?1?a,2??2k?1?1?qk 成等比数列，得2a?a2k2k?12k?1aaq2k2kk?1当q1≠1时，可知qk≠1，k?N* 从而1qk?1?2?11qk?1?1?1?1,即1??1(k?2) q?1qq?1k?1k?1k?11??1??所以??是等差数列，公差为1。 q?1??k??（Ⅱ）证明：a1?0，a2?2，可得a3?4，从而q1?1qk?1?1?k?1?k,得qk?k?1,k?N* k4?2,1=1.由（Ⅰ）有 2q?112aaa（）所以2k?2?2k?1?k?1,从而2k?2?k?21,k?N* aakak2k?12k2k因此， 222aaak(k?1)22k?1?2k(k?1),k?N*a2k?2k.2k?2....4.a?.....2?2k.a?a.2k?12kkaaa2(k?1)2(k?2)2122k?22k?42以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m(m?N*)
k2若m=1,则2n???2.
k?2akn若m≥2，则
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