2010年高考数学试题分类汇编 - 数列 - 图文

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

2. （2010安徽理数）20、（本小题满分12分） 设数列a1,a2,?,an,?中的每一项都不为0。 证明：?an?为等差数列的充分必要条件是：对任何n?N，都有 111n。 ?????a1a2a2a3anan?1a1an?1状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

（2010江苏卷）19、（本小题满分16分） 设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，已知2a2?a1?a3，数列差为d的等差数列。 （1）求数列?an?的通项公式（用n,d表示）； （2）设c为实数，对满足m?n?3k且m?n的任意正整数m,n,k，不等式

9Sm?Sn?cSk都成立。求证：c的最大值为。

2?S?是公

n[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 （1）由题意知：d?0，

Sn?S1?(n?1)d?a1?(n?1)d

2a2?a1?a3?3a2?S3?3(S2?S1)?S3，3[(a1?d)2?a1]2?(a1?2d)2,

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供

状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载

化简，得：a1?2a1?d?d2?0,a1?d,a1?d2

Sn?d?(n?1)d?nd,Sn?n2d2，

当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2d2?(n?1)2d2?(2n?1)d2，适合n?1情形。 故所求an?(2n?1)d2 （2）（方法一）

m2?n2恒成立。 Sm?Sn?cSk?md?nd?c?kd?m?n?c?k， c?k2222222222m2?n29?， 又m?n?3k且m?n，2(m?n)?(m?n)?9k?2k22222故c?99，即c的最大值为。 22（方法二）由a1?d及Sn?a1?(n?1)d，得d?0，Sn?n2d2。 于是，对满足题设的m,n,k，m?n，有 (m?n)229229Sm?Sn?(m?n)d?d?dk?Sk。 2222229。 2933另一方面，任取实数a?。设k为偶数，令m?k?1,n?k?1，则m,n,k符合

222331条件，且Sm?Sn?(m2?n2)d2?d2[(k?1)2?(k?1)2]?d2(9k2?4)。 222所以c的最大值cmax?于是，只要9k2?4?2ak2，即当k?所以满足条件的c?因此c的最大值为

12时，Sm?Sn?d2?2ak2?aSk。

22a?999，从而cmax?。 229。 2状元源 http://zyy100.com/ 免注册、免费提供