线性代数第五章习题

第五章 相似矩阵及二次型

一、填空题

1．3阶矩阵A有特征值2,-1,3,则A的特征值为 ，

2

A*的特征值为 ，2A?3E? ，

?1* 2A?3A? ；

2．A是三阶矩阵,A的特征值是1,2,3, 则

?1 A的代数余子式A11?A22?A33= 。

3. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为

1111,,,，则行列式 2345B?1?I= ．

4. 已知实二次型

22f(x1,x2,x3)?a(x12?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3

经正交变换x?Py化成标准型

f?6y12，则a? ．

二、解答题

?a?1c???b3?，A??1，A*的一个特征值?0对应的特征向量5. 已知A??5?1?c0?a???????1?11?T，求 a,b,c,?0．

?a111a13???A?a1a6. 设,?1，求 A11A23?A21A13． ?2123?，已知A的特征值是2,1?a1a?33??31?a111a13???T7. 设A??a211a23?，已知0,1,2是A的特征值； 证明X??1,1,1?是线

?a1a?33??31性方程组A*X?0的一个解，但不是方程组的一个基础解系．

1

?211??1?????*8. 设矩阵A??121?可逆，向量???b?是矩阵A的一个特征向量，?是??11a??1?????对应的特征值，其中A是矩阵A的伴随矩阵．试求a,b和?的值． 9. 设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵,n维列向量?是A的属于 特征值?的特征向量．则矩阵(P?1AP)T属于特征值?的特征向量是

*(A)P?1?． (B)PT?． (C)P?． (D)(P?1)T?．

111111111??40??1??00,B??001?????001??00000??0?．请选择A与B的关系： 0??0???1??110. 设A??1??1?(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似．

11. 设A是秩为r的n阶方阵（0?r?n），满足A2?2A，又B?3A?2I，

* （１）证明B可逆； （２）用矩阵A的多项式表示B的伴随矩阵B．

?322??010??????1*12. 设矩阵A??232?，P??101?，B?PAP，求B?2E的特征

?223??001?????值与特征向量，其中A为A 的伴随矩阵，E为３阶单位矩阵． 13. 设A,B为同阶方阵，

*(1)(2)(3)如果A,B相似，试证A,B的特征多项式相等． 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． 当A,B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

314设A?M3,??R,?,A?,A2?线性无关，使得3A??2A2??A3??0.

2

证明A可对角化.

?1?11???4y?，已知A有三个线性无关的特征向量，??2 15. 设矩阵A??x??3?35????1是A的二重特征值．试求可逆矩阵P，使得PAP为对角形矩阵．

16.

A?M3实对称，特征值为1，-1，-1，其中1的特征向量为 ?111?T，求A．

?220???17. 若矩阵A??82a?，相似于对角矩阵?，试确定常数a的值；

?006????1并求可逆矩阵P使PAP??．

?012???T18. X??112?是A??10a?的特征向量，求a,b的值，并求正交矩阵P?2ab????1使得PAP为对角阵．

?a11????119. 设对称矩阵A??1a?1?，求可逆矩阵P，使PAP为对角矩阵，并计

?1?1a???算行列式

A?E的值．

?11a??1????????1?．20. 设矩阵A??1a1?，已知线性方程组AX??有解但不惟一，

?a11???2?????试求（1）a的值； （2）正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

?1?11???21. 求?2?22?．

??11?1???k 3

?100???22. 与矩阵A??0?12?合同的矩阵是

?022????1??1??1??1????????? （A）??1 （B） （C） （D）11?1???? ????????1?0??1?0?????????23. 已知???1?10?是

T2XTAX?ax12?x3?2x1x2?2x1x3?2bx2x3的矩阵A的

TT特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并求XX?1时XAX的最大值．

24. 设三元函数求在条件x122f(x1,x2,x3)?3x12?3x2?2x1x2?4x1x3?4x2x3， 22?x2?x3?1下f的最小值，并求出最小值点．

?400??410??220???????25. 已知A??040?，B??041?，C??220?．试判断A,B,C中

?004??000??002???????哪些矩阵相似, 哪些矩阵合同? 26. 已知二次型变换化作y1222f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?3x3?2ax2x3，其中a?0，通过正交

22?2y2?5y3．试确定参数a及所作的正交变换.

27. 试求一个正交变换，化下列二次型为标准形

22 f(x1,x2,x3)?2x1?4x1x2?4x2x3?x2

28． A?Mn正定，X1,X2,???,Xm?R证明X1,X2,???,Xm线性无关.

n?0，且XiTAXj?0(i?j)，

29．设A是实对称正定矩阵，B是m?n的实矩阵，

T证明：BAB正定的充分必要条件是r(B)?n

30．已知二次曲面方程

x2?ay2?z2?2bxy?2xz?2yz?4可以经过正交变换

4

?x????????22?y??P???化为椭圆柱面方程：??4??4，求a,b的值和正交矩阵P． ?z???????? 5