(上海版)高考数学分项汇编专题14推理与证明、新定义(含解析)理

专题14 推理与证明、新定义

一．基础题组

1. 【2011上海,理14】已知点O(0,0)、Q0(0,1)和点R0(3,1)，记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足(|OQ1|－2)(|OR1|－2)＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足(|OQ2|－2)(|OR2|－2)＜0，依次下去，得到P1，P2，…，Pn，…，则

limQ0Pn?______.

n??【答案】3

2. (2009上海,理13)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)___________为发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 【答案】（3，3）

1

3. 【2007上海,理9】若a,b为非零实数，则下列四个命题都成立： ①a?12?0 ②?a?b??a2?2ab?b2 ③若a?b，则a??b a2④若a?ab，则a?b。则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的序号是_____。

4. 【2006上海,理10】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ． 【答案】36

二．能力题组

1. 【2010上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分10分.

若实数x、y、m满足x?m?y?m，则称x比y远离m. （1）若x?1比1远离0，求x的取值范围；

3322（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a?b比ab?ab远离2abab；

2（3）已知函数f(x)的定义域D??x|x???k????,k?Z,x?R?.任取x?D，f(x)等于sinx和cosx24?中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.

2

【答案】（1）（2）（3）

【点评】本题给人耳目一新的感觉，问题的表述比较陌生，提问方式新颖，考生需要较强的数学理解和化归能力，对考生的综合数学能力要求较高．但认真分析一下就会有“他乡遇故知”的感觉——函数与不等式的综合.

2. 【2006上海,理16】如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：

①若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；

②若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个； ③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ） （A）0； （B）1； （C）2； （D）3．

l1M（p，q）

l2

O

【答案】D

3

3. 【2005上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．

23n在直角坐标平面中，已知点P2(2,2)，P3(3,2)，…，Pn(n,2)，其中n是正整数．对平1(1,2)，P面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，……，An为An?1关于点Pn的对称点．

（1） 求向量A0A2的坐标；

（2） 当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y?f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的

周期函数，且当x??0,3?时，f(x)?lgx，求以曲线C为图象的函数在?1,4?的解析式；

（3）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标

4(2n?1)) 【答案】（1）（2，4）；（2）g(x)?lg(x?1)?4；（3）(n,3 4