山东省聊城市冠县武训高中2019-2020学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．化简求值： （1）（2）

． ；

【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出． （2）利用对数的运算性质即可得出． 【解答】解：（1）原式=

×

×

×（π﹣3）=

×

×（π﹣3）=6（π﹣3）．

（2）原式=

18．已知函数f（x）的定义域为（0，4），函数g（x）=f（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|a＜x＜2a﹣1}，若A∩B=B，求实数a的取值范围． 【考点】交集及其运算．

【分析】根据定义域的意义，求出集合A，再根据A∩B=B时，B?A，讨论B=?和B≠?时，求出对应a的取值范围即可．

【解答】解：要使g（x）有意义，则：0＜x+1＜4， ∴﹣1＜x＜3， ∴A={x|﹣1＜x＜3}； ∵A∩B=B， ∴B?A；

①若B=?，满足B?A， 则a≥2a﹣1，解得a≤1；

=2+lg2?（lg5+lg2）+lg5=3．

②若B≠?，则，

解得1＜a≤2；

综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．

19．已知定义在R上的函数（1）求实数a，b的值；

（2）判断f（x）的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论． 【考点】函数与方程的综合运用；奇偶性与单调性的综合．

【分析】（1）利用函数是奇函数，通过定义利用待定系数法求解即可． （2）利用函数的单调性的定义证明求解即可． 【解答】解：（1）因为对于任意x∈R恒成立， 即有R恒成立， 于是有

解得a=b=1或a=b=﹣1，

=

对于任意x∈

定义域为R且是奇函数，故f（﹣x）=f（x）

是奇函数．

又f（x）的定义域为R，所以a≥0， 故所求实数a，b的值分别为a=1，b=1． （2）由（1）可得函数f（x）的解析式为单调减函数．

用函数的单调性定义证明如下：

在定义域R上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2， 则

∵x1＜x2，∴又

，

， ，

，

，f（x）在定义域R上为

故有f（x1）﹣f（x2）＞0，即有f（x1）＞f（x2），

因此，根据函数单调性的定义可知，函数f（x）在定义域R上为减函数．

20．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：

（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？

（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？

【考点】函数模型的选择与应用；一元二次不等式的应用．

【分析】（1）先设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；

（2）由题意得出关于x的方程式，解得x值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%，每件标价为多少元．

【解答】解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，

则x∈，

∵0=300k+b，即b=﹣300k， ∴n=k（x﹣300）

y=（x﹣100）k（x﹣300） =k（x﹣200）2﹣10000k（x∈ ∵k＜0，

∴x=200时，ymax=﹣10000k，

即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元． （2）解：由题意得，k（x﹣100）（x﹣300）=﹣10000k?75% x2﹣400x+37500=0 解得x=250或x=150

所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元

21．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]?D，同时满足： ①f（x）在[m，n]上是单调函数；

②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]． 则称[m，n]是该函数的“等域区间”． （1）求证：函数（2）已知函数a的取值范围．

【考点】函数与方程的综合运用．

【分析】（1）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．

（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n﹣m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案． 【解答】解：（1）证明：设[m，n]是已知函数定义域的子集． ∵x≠0，∴[m，n]?（﹣∞，0），或[m，n]?（0，+∞）， 故函数

在[m，n]上单调递增．

不存在“等域区间”；

（a∈R，a≠0）有“等域区间”[m，n]，求实数

若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则故m、n是方程

的同号的相异实数根．

∵x2﹣3x+5=0无实数根， ∴函数

不存在“等域区间”．

（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，

∵x≠0，∴[m，n]?（﹣∞，0）或[m，n]?（0，+∞）， 故函数

在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则故m、n是方程

，即a2x2﹣（2a+2）x+1=0的同号的相异实数根．