矩阵范数赵彤

二、 阵范数在矩阵序列上的收敛判定

定义2.2 设矩阵序列?Ak?，其中Ak?aij??k???C，若m?n个

m?n数列?aij?k?? ?i?1,2,?,m;j?1,2,?,n?都收敛，便称矩阵序?Ak?列收敛.

?k?aij若limk???aijilAk，则mk???A?a?ji称A为矩阵序列?A?的极?，

k限.

定理2.1 设A?k??Cm?n，则： （1）A?k??O的充要条件是（2）A?k??A的充要条件是

AA?k??0； .

?k??A?0这里?是Cm?n上的任何一种矩阵范数.

定理2.2 若对矩阵A的某种范数由上一节性质2.1可知：

kA定理2.3 已知矩阵序列A,A2,?,Ak,?，则limk??A?1，则limAk?0k??.

?0的充要

条件是??A??1.

例2.2 下列矩阵是否为收敛矩阵？为什么？

?0.20.5（1）A????0.1?0.10.50.30.2??0.4 ?0.2???1?6（2）A????1??3?4?3?? 1??6?

解：（1）可求得

A1?0.9?1，从而A第 13 页

是收敛矩阵.

（2）可求得A的特征值?故A是收敛矩阵.

例2.3

?0c设A????c?c0cc??c ?0??1?56，?2??12，于是??A??56 ?1，

讨论实数c取何值时A为收敛矩阵.

??3??c解：可求得A的特征值?1?2c，?2故当??A??1，即c?12，于是??A??2c，

时，A为收敛矩阵.

三、 范数在矩阵级数上的收敛判定

定义2.3 设Ak?i?1,2,?,m;??aij??k???C，若m?n个常数项级数?a??

m?n?kijk?1j?1,2,?,n? 都收敛，便称矩阵级数 收敛.

??Ak?1k?A1?A2???An???k?若m?n个常数项级数?aij ?i?1,2,?,m;j?1,2,?,n?绝对收

k?1敛，便称矩阵级数?k?1?Ak?A1?A2???An??绝对收敛.

?定理2.4 设Ak?aij??k???C，则矩阵级数?A绝对收敛的

m?nkk?1充要条件是正项级数?k?1?Ak收敛，其中

A为任何一种矩阵范

数.

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定义2.4 设A??aij??Cn?n， 称形如?ckAkk?0??c0E?c1A?c2A???ckA??2k的矩阵级数为矩阵幂

收敛.

定理2.5 设幂级数f?z???ckzk的收敛半径为r，如果方阵

k?0?满足??A??r，则矩阵幂级数?ckAk是绝对收敛的；

k?0?如果??A??r，则矩阵幂级数?ckAk是发散的.

k?0?性质2.4 设矩阵级数?k?0?Ak收敛（或绝对收敛），则?PA?k?Qk?0??也收敛（或绝对收敛），并且?PAk?0?k????k??Q?P??A?Q?k?0?，其中

A?k??Cm?n，P?Cs?m，Q?Cn?t.

?证明：设S??k?0A?k?，则S?N?N??PAk?0?k????k??Q?P??A?Q?k?0?， ，

于是?PAk?0??k?Q?limSN???N?N????k???k???P?lim?A?Q?PSQ?P??A?Q?N??k?0??k?0?如果?k?0?A?k?绝对收敛，则?k?0?A?k?收敛.

?k?由于

PA?k?Q?PA??k?Q??A，其中?是与k无关的正

?数，由比较判别法知?k?0PA?k?Q收敛，故?PA?k?Q绝对收敛.

k?0第 15 页

性质2.5若矩阵级数?k?0?A?k?与?B?k?绝对收敛，且其和分别

k?0?为A与B，则这两个矩阵级数的积

A?0?B?0??A??0?B?0??AB?1??0??????A??B???A??B?0k1k?1????A?k?B?0????也

绝对收敛，且有和AB，其中A?k?，A?Cm?n；

证明：由于级数?k?0?B?k?，B?Cn?l。

A?0??k?与?k?0?B?k?收敛，故级数

A?0?B??0???0??AB?0?B?1??A?1??1?B???

?k??A?k???AB?k?1????AB?0???? （2.2）收敛，

B?k?1?又

A?0?B?k??AB?1??k?1????A?k?B?0??A?0?B?k??A?1????A?k?B?0?由比较判别法知原矩阵级数也收敛. 记

S1?N?N??k?0A?k?，S2??N?N??k?0B?k?，S3?N??N?????????AB?AB??0k1k?0Nk?1????A?k?B?0??

又记s1?N?N?k?0A?k?，s2N??k?0B?k?，s3?N?是级数（2.2）的前N项部分和，则

S1?N?S2?N??S3?N???A??B?1N??A?N??2?B?N?1????AB?N?1??N?B?N????A??B?2N????A?N?B?2?????A??N?N?B?N???A?1?B?A?2????A?N?B?1?????A?N?B

?s1s2?N??N??s3?N?

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