最新人教a版高中数学必修五：第二章《数列》章末检测(a)（含答案）

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第二章 章末检测 （A）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 011，则序号n等于( ) A．667 B．668 C．669 D．671 答案 D

解析 由2 011＝1＋3(n－1)解得n＝671.

2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( ) A．15 B．30 C．31 D．64 答案 A

解析 在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12， ∴a12＝16－1＝15.

3．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ) A．81 B．120 C．168 D．192 答案 B

解析 由a5＝a2q3得q＝3.

a2∴a1＝＝3，

q

a1?1－q4?3?1－34?S4＝＝＝120.

1－q1－34．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( ) A．160 B．180 C．200 D．220 答案 B

解析 ∵(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20) ＝(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18) ＝3(a1＋a20)＝－24＋78＝54， ∴a1＋a20＝18.

20?a1＋a20?

∴S20＝＝180.

2

1

5．数列{an}中，an＝3n－7 (n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，

3

若an＋logkbn为常数，则满足条件的k值( )

1

A．唯一存在，且为 B．唯一存在，且为3

3

C．存在且不唯一 D．不一定存在 答案 B

解析 依题意，

?1?n－1＝1·?1?3n－3＝?1?3n－2， bn＝b1·?27??3?3?3?1?3n－2

∴an＋logkbn＝3n－7＋logk??3?

1

＝3n－7＋(3n－2)logk

3

11

3＋3logk?n－7－2logk， ＝?3??3

1

∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk＝0，

3

即logk3＝1，∴k＝3.

6．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不对 答案 A

解析 ∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a24＝64，

2

∵a2>0，a6>0，∴a4＝a2q>0，∴a4＝8.

7．若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于( ) A．1或2 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2 答案 C

解析 依题意有2a4＝a6－a5， 即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0， ∴q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0. ∴q＝－1或q＝2.

8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( ) A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 答案 A

10

S101－q1515

解析 显然等比数列{an}的公比q≠1，则由＝5＝1＋q＝?q＝－， S51－q22

?1?3

15531－－?2?31－?q?S151－q

故＝＝. 5＝5＝S51－q1?41－q?1－?－2?

a1＋a3＋a9

9．已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则等于( )

a2＋a4＋a10

15121315A. B. C. D. 14131616答案 C

解析 因为a2a9，所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋8d)．所以a1＝d. 3＝a1·

a1＋a3＋a93a1＋10d13所以＝＝. a2＋a4＋a103a1＋13d16

10．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )

A．21 B．20 C．19 D．18 答案 B

解析 ∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d， ∴99－105＝3d.∴d＝－2.

又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.

n?n－1?

∴Sn＝na1＋d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.

2

∴当n＝20时，Sn有最大值．

11．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )

A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X) 答案 D

解析 由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z. 又∵{an}是等比数列，

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列， 即X，Y－X，Z－Y为等比数列， ∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，

2

即Y－2XY＋X2＝ZX－XY， ∴Y2－XY＝ZX－X2，

即Y(Y－X)＝X(Z－X)．

1212312345

12．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是数列中的( )

2132143216

A．第48项 B．第49项 C．第50项 D．第51项 答案 C

解析 将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n个，

12n1??12??123?，…，?， ，，，，，…，?n，即?，1??1??21??321??n－15

则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋

6

3＋…＋9)＋5＝50.

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.2－1与2＋1的等比中项是________． 答案 ±1

14．已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______．

答案 －4

??a6＝23＋5d≥02323

解析 由?，解得－≤d<－，

56??a7＝23＋6d<0

∵d∈Z，∴d＝－4.

15．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．

答案 15

解析 设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公

n?n－1?d

差d＝2的等差数列，由求和公式得na1＋＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.

2

16．等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，a99－1

<0.给出下列结论：①01a100－1

成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)

答案 ①②④

?a－1??a100－1?<0??99?a99>1

解析 ①中，?a99a100>1??

01

a100?q＝∈(0,1)，∴①正确．

a99

2

??a99a101＝a100

②中，??a99a101<1，∴②正确．

?0

?T100＝T99a100?

③中，??T100

?0

④中，T198＝a1a2…a198 ＝(a1a198)(a2a197)…(a99a100) ＝(a99a100)99>1，

T199＝a1a2…a198a199＝(a1a199)…(a99a101)·a100 ＝a199100<1，∴④正确．

三、解答题(本大题共6小题，共74分)

17．(12分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式． 解 (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a3＝－6，a6＝0，

??a1＋2d＝－6，所以?

?a1＋5d＝0.?

解得a1＝－10，d＝2.

所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12. (2)设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8， 所以－8q＝－24，q＝3.

所以数列{bn}的前n项和公式为

b1?1－qn?Sn＝＝4(1－3n)．

1－q

18．(12分)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn. 解 设{an}的公差为d，则 ??a1＋2d??a1＋6d?＝－16，?? ?a＋3d＋a＋5d＝0，?11

22

??a1＋8da1＋12d＝－16，即? ?a＝－4d.?1

???a1＝－8，?a1＝8，解得?或?

?d＝2，???d＝－2.

因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)， 或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．

19．(12分)已知数列{log2(an－1)} (n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9. (1)求数列{an}的通项公式；

111

(2)证明：＋＋…＋<1. a2－a1a3－a2an＋1－an

(1)解 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d. 由a1＝3，a3＝9，

得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1. 所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n， 即an＝2n＋1.

111

(2)证明 因为＝n＋1n＝n，

an＋1－an2－22

111

所以＋＋…＋ a2－a1a3－a2an＋1－an1111＝1＋2＋3＋…＋n 2222111－×22n21＝＝1－n<1.

121－2

20．(12分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.

an(1)设bn＝n－1.证明：数列{bn}是等差数列；

2

(2)求数列{an}的前n项和．

(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，