(新课标)2017版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数题组26 理

解析 方法一：如图所示，

→→→→∵OA·OB＝0，∴OB⊥OA.

→→→→→

不妨设|OC|＝2，过C作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，则四边形ODCE是矩形． →→→→→OC＝OD＋DC＝OD＋OE.

→→→

∵|OC|＝2，∠COD＝30°，∴|DC|＝1，|OD|＝3. 3→→→→→→

又∵|OB|＝3，|OA|＝1，故OD＝3 OA，OE＝OB.

33→3→→

∴OC＝3 OA＋OB，此时m＝3，n＝.

33m3

∴＝＝3. n3

3

→→

方法二：由OA·OB＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面→→

直角坐标系，则可知OA＝(1，0)，OB＝(0，3)．

3n3m→→→→

又由OC＝mOA＋nOB，可知OC＝(m，3n)，故由tan30°＝＝，可知＝3.

m3n

→1→→1→

15．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE＝AC，BF＝BC.

33(1)求E，F的坐标； →→

(2)求证：EF∥AB.

127

答案 (1)E(－，)，F(，0) (2)略

333

→→

解析 (1)设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则依题意，得AC＝(2，2)，BC＝(－→

2，3)，AB＝(4，－1)．

2→1→22→1→

∴AE＝AC＝(，)，BF＝BC＝(－，1)．

33333

22→

∴AE＝(x1，y1)－(－1，0)＝(，)，

332→

BF＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)．

32212

∴(x1，y1)＝(，)＋(－1，0)＝(－，)，

333327

(x2，y2)＝(－，1)＋(3，－1)＝(，0)．

33127

∴E的坐标为(－，)，F的坐标为(，0)．

333127

(2)由(1)知(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0)．

33382→

∴EF＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，－)．

3328

又4×(－)－(－1)×＝0，

33→→

∴EF∥AB.

2C

16．已知向量m＝(0，－1)，n＝(cosA，2cos)，其中A、B、C是△ABC的内角，且A、B、

2

C依次成等差数列，求|m＋n|的取值范围． 答案 [25，) 22

π2π2π

解析 2B＝A＋C，B＝，A＋C＝，∴0

2C

m＋n＝(cosA，2cos－1)＝(cosA，cosC)，

2

|m＋n|＝cosA＋cosC＝＝＝

22

1＋cos2A1＋cos2C

＋ 22

14π

1＋[cos2A＋cos（－2A）] 231π

1＋cos（2A＋）， 23

ππ5ππ1

∵<2A＋<，∴－1≤cos(2A＋)<. 33332∴|m＋n|∈[

25

，)． 22

17．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2)． (1)若a∥b，求tanθ的值；

(2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值． 1π3π

答案 (1) (2)或

424

1

解析 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝. 4(2)由|a|＝|b|知，sinθ＋(cosθ－2sinθ)＝5，所以 1－2sin2θ＋4sinθ＝5.

π2

从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋)＝－.

42ππ9ππ5ππ7π

又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝或2θ＋＝.

4444444π3π

因此θ＝或θ＝. 24

1．设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，则“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的是( ) A．充要条件 C．充分不必要条件 答案 C

解析 若a＝(4，2)，则|a|＝25，且a∥b都成立； 因a∥b，设a＝λb＝(2λ，λ)， 由|a|＝25，得4λ＋λ＝20. ∴λ＝4，∴λ＝±2.

∴a＝(4，2)或a＝(－4，－2)．

因此“a＝(4，2)”是“a∥b”成立的充分不必要条件．

3π→

2．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转后

4→

得向量OQ，则点Q的坐标是( ) A．(－72，－2) C．(－46，－2) 答案 A

34→→

解析 设OP与x轴正半轴的夹角为θ，则cosθ＝，sinθ＝，则由三角函数定义，可得OQ

553π3π→→

＝(|OP|cos(θ＋)，|OP|sin(θ＋))．

44

B．(－72，2) D．(－46，2)

2

2

2

2

2

2

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3π3π3π→22∵|OP|cos(θ＋)＝6＋8×(cosθcos－sinθsin) 4443242

＝10×[×(－)－×]＝－72，

5252

3π3π3π→22|OP|sin(θ＋)＝6＋8×(sinθcos＋cosθsin) 4444232

＝10×[×(－)＋×]＝－2，

5252→

∴OQ＝(－72，－2)， 即点Q的坐标为(－72，－2)．

→→→

3．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为 1A. 21C. 4答案 A

→→→

解析 ∵M为边BC上任意一点，∴可设AM＝xAB＋yAC(x＋y＝1)．∵N为AM中点， →1→1→1→→→∴AN＝AM＝xAB＋yAC＝λAB＋μAC.

22211∴λ＋μ＝(x＋y)＝. 22

4．已知a＝(6，1)，b＝(－2，2)，若单位向量c与2a＋3b共线，则向量c的坐标为________． 34

答案 ±(，)

55

解析 2a＋3b＝2(6，1)＋3(－2，2)＝(6，8)， ∵单位向量c与(6，8)共线， （6，8）34

∴c＝±＝±(，)．

5536＋64

5．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________． 答案 (－1，1)或(－3，1)

解析 设a＝(x，y)，∵b＝(2，－1)，则a＋b＝(x＋2，y－1)，∵a＋b平行于x轴，∴y－1＝0，y＝1，故a＋b＝(x＋2，0)，又∵|a＋b|＝1，∴|x＋2|＝1，∴x＝－1或x＝－3， ∴a＝(－1，1)或a＝(－3，1)．

6．已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________． 答案 1

( )

1

B. 3D．1